Theorem mat2pmatrhm 21881

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatrhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		mat2pmatbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 21590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat2pmatbas.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 21417	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
8		mat2pmatbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	8	matring 21590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10	7, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
11		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
12		mat2pmatbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
13		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
14	11, 2, 12, 5, 8, 13	mat2pmatghm 21877	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
15	1, 14	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
16	11, 2, 12, 5, 8, 13	mat2pmatmhm 21880	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))
17	15, 16	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶))))
18		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
19		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
20	18, 19	isrhm 19963	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝐶) ↔ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ Ring) ∧ (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))))
21	4, 10, 17, 20	syl21anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  Basecbs 16910   MndHom cmhm 18426   GrpHom cghm 18829  mulGrpcmgp 19718  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782   RingHom crh 19954  Poly₁cpl1 21346   Mat cmat 21552   matToPolyMat cmat2pmat 21851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-assa 21058  df-ascl 21060  df-psr 21110  df-mpl 21112  df-opsr 21114  df-psr1 21349  df-ply1 21351  df-mamu 21531  df-mat 21553  df-mat2pmat 21854

This theorem is referenced by:  cpmidgsumm2pm  22016  cayhamlem4  22035