MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mprhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mprhm 21435
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpmhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpmhm.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpmhm.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mprhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mprhm
StepHypRef Expression
1 pm2mpmhm.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpmhm.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
31, 2pmatring 21306 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4 pm2mpmhm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 21057 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6 pm2mpmhm.q . . . 4 𝑄 = (Poly1𝐴)
76ply1ring 20886 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
9 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠𝑄) = ( ·𝑠𝑄)
11 eqid 2824 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
12 eqid 2824 . . . 4 (var1𝐴) = (var1𝐴)
13 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
14 pm2mpmhm.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
151, 2, 9, 10, 11, 12, 4, 6, 13, 14pm2mpghm 21430 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
161, 2, 4, 6, 14pm2mpmhm 21434 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))
1715, 16jca 515 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄))))
18 eqid 2824 . . 3 (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
19 eqid 2824 . . 3 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
2018, 19isrhm 19478 . 2 (𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄) ↔ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ Ring) ∧ (𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))))
213, 8, 17, 20syl21anbrc 1341 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6345  (class class class)co 7151  Fincfn 8507  Basecbs 16485   ·𝑠 cvsca 16571   MndHom cmhm 17956  .gcmg 18226   GrpHom cghm 18357  mulGrpcmgp 19241  Ringcrg 19299   RingHom crh 19469  var1cv1 20814  Poly1cpl1 20815   Mat cmat 21021   pMatToMatPoly cpm2mp 21406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258  df-ring 19301  df-rnghom 19472  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-ascl 20553  df-psr 20603  df-mvr 20604  df-mpl 20605  df-opsr 20607  df-psr1 20818  df-vr1 20819  df-ply1 20820  df-coe1 20821  df-mamu 21000  df-mat 21022  df-decpmat 21377  df-pm2mp 21407
This theorem is referenced by:  pm2mprngiso  21436
  Copyright terms: Public domain W3C validator