Theorem lcmfledvds 16576

Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfledvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfn0val 16567	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
3		ssrab2 4072	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
4		nnuz 12869	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 4013	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
7		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ 𝐾))
8	7	ralbidv 3171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
9	8	elrab 3678	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
10	6, 9	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘})
11		infssuzle 12919	. . . . 5 ⊢ (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
12	5, 10, 11	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13	12	3ad2antl1 1182	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
14	2, 13	eqbrtrd 5163	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾)
15	14	ex 412	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  {crab 3426   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  Fincfn 8941  infcinf 9438  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826   ∥ cdvds 16204  lcmclcmf 16533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16205  df-lcmf 16535

This theorem is referenced by:  lcmf  16577  lcmflefac  16592