Theorem lcmfledvds 16715

Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfledvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfn0val 16706	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
3		ssrab2 4037	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
4		nnuz 12919	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3988	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		breq2 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ 𝐾))
7	6	ralbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
8	7	elrab 3653	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
9	8	bilanri 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘})
10		infssuzle 12973	. . . . 5 ⊢ (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
12	11	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13	2, 12	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾)
14	13	ex 418	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082  {crab 3419   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Fincfn 8952  infcinf 9411  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880   ∥ cdvds 16335  lcmclcmf 16672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984  df-dvds 16336  df-lcmf 16674

This theorem is used by:  lcmf  16716  lcmflefac  16731