Theorem lcmfledvds 16690

Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfledvds	⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfn0val 16681	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ))
3		ssrab2 4042	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
4		nnuz 12901	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	sseqtri 3993	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1)
6		breq2 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ 𝐾))
7	6	ralbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
8	7	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
9	8	bilanri 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘})
10		infssuzle 12955	. . . . 5 ⊢ (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
11	5, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
12	11	3ad2antl1 1202	. . 3 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13	2, 12	eqbrtrd 5137	. 2 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾)) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾)
14	13	ex 417	1 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾) → (lcm‘𝑍) ≤ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  {crab 3423   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Fincfn 8943  infcinf 9401  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862   ∥ cdvds 16310  lcmclcmf 16647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-prod 15958  df-dvds 16311  df-lcmf 16649

This theorem is referenced by:  lcmf  16691  lcmflefac  16706