MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfledvds 16600
Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfledvds ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfn0val 16591 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
21adantr 479 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
3 ssrab2 4069 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ ℕ
4 nnuz 12893 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4sseqtri 4009 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1)
6 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
7 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑚𝑘𝑚𝐾))
87ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
98elrab 3675 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
106, 9sylibr 233 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘})
11 infssuzle 12943 . . . . 5 (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
125, 10, 11sylancr 585 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13123ad2antl1 1182 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
142, 13eqbrtrd 5165 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)
1514ex 411 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3036  wral 3051  {crab 3419  wss 3940   class class class wbr 5143  cfv 6542  Fincfn 8960  infcinf 9462  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   < clt 11276  cle 11277  cn 12240  cz 12586  cuz 12850  cdvds 16228  lcmclcmf 16557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-prod 15880  df-dvds 16229  df-lcmf 16559
This theorem is referenced by:  lcmf  16601  lcmflefac  16616
  Copyright terms: Public domain W3C validator