Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfledvds 15968
 Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfledvds ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfn0val 15959 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
21adantr 483 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
3 ssrab2 4054 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ ℕ
4 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4sseqtri 4001 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1)
6 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
7 breq2 5061 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑚𝑘𝑚𝐾))
87ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
98elrab 3678 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
106, 9sylibr 236 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘})
11 infssuzle 12323 . . . . 5 (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
125, 10, 11sylancr 589 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13123ad2antl1 1180 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
142, 13eqbrtrd 5079 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)
1514ex 415 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3121  ∀wral 3136  {crab 3140   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  Fincfn 8501  infcinf 8897  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11630  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   ∥ cdvds 15599  lcmclcmf 15925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-dvds 15600  df-lcmf 15927 This theorem is referenced by:  lcmf  15969  lcmflefac  15984
 Copyright terms: Public domain W3C validator