Theorem lcd0v2 41080

Description: The zero functional in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0v2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0v2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcd0v2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lcd0v2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v2.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
lcd0v2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcd0v2	⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Proof of Theorem lcd0v2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0v2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcd0v2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
6		lcd0v2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		lcd0v2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
8		lcd0v2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcd0v 41079	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
10		lcd0v2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		lcd0v2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12	1, 2, 8	dvhlmod 40578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	3, 4, 5, 10, 11, 12	ldual0v 38617	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = ((Base‘𝑈) × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
14	9, 13	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4625   × cxp 5671  ‘cfv 6543  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230  0_gc0g 17415  LDualcld 38590  HLchlt 38817  LHypclh 39452  DVecHcdvh 40546  LCDualclcd 41054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-undef 8273  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-oppg 19291  df-lsm 19585  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-lvec 20982  df-lsatoms 38443  df-lshyp 38444  df-lcv 38486  df-lfl 38525  df-lkr 38553  df-ldual 38591  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967  df-lvols 38968  df-lines 38969  df-psubsp 38971  df-pmap 38972  df-padd 39264  df-lhyp 39456  df-laut 39457  df-ldil 39572  df-ltrn 39573  df-trl 39627  df-tgrp 40211  df-tendo 40223  df-edring 40225  df-dveca 40471  df-disoa 40497  df-dvech 40547  df-dib 40607  df-dic 40641  df-dih 40697  df-doch 40816  df-djh 40863  df-lcdual 41055

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  41090  hvmap1o2  41233