Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem30 40906
Description: Lemma for lcfr 40919. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem30 (𝜑𝐶 ∈ (LFnl‘𝑈))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem30
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . 2 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
2 eqid 2731 . . 3 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
3 lcfrlem25.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
4 lcfrlem30.m . . 3 = (-g𝐷)
5 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 lcfrlem17.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 40444 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 lcfrlem17.p . . . 4 + = (+g𝑈)
12 lcfrlem24.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
13 lcfrlem24.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
14 lcfrlem24.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑆)
15 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
16 lcfrlem24.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17 eqid 2731 . . . 4 (0g𝐷) = (0g𝐷)
18 eqid 2731 . . . 4 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
19 lcfrlem24.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
20 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
215, 9, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 16, 3, 17, 18, 19, 7, 20lcfrlem10 40886 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
22 eqid 2731 . . . 4 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
23 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24 lcfrlem17.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
25 lcfrlem17.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 lcfrlem17.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27 lcfrlem22.b . . . . 5 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
28 lcfrlem24.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑆)
29 lcfrlem24.ib . . . . 5 (𝜑𝐼𝐵)
30 lcfrlem28.jn . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
31 lcfrlem29.i . . . . 5 𝐹 = (invr𝑆)
325, 9, 6, 10, 11, 15, 23, 24, 7, 20, 25, 26, 27, 12, 13, 28, 14, 19, 29, 16, 3, 30, 31lcfrlem29 40905 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼)) ∈ 𝑅)
335, 9, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 16, 3, 17, 18, 19, 7, 25lcfrlem10 40886 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈))
342, 13, 14, 3, 22, 8, 32, 33ldualvscl 38472 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)) ∈ (LFnl‘𝑈))
352, 3, 4, 8, 21, 34ldualvsubcl 38489 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) ∈ (LFnl‘𝑈))
361, 35eqeltrid 2836 1 (𝜑𝐶 ∈ (LFnl‘𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  {crab 3431  cdif 3945  cin 3947  {csn 4628  {cpr 4630  cmpt 5231  cfv 6543  crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  -gcsg 18863  invrcinvr 20285  LSpanclspn 20814  LSAtomsclsa 38307  LFnlclfn 38390  LKerclk 38418  LDualcld 38456  HLchlt 38683  LHypclh 39318  DVecHcdvh 40412  ocHcoch 40681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38286
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20946  df-lsatoms 38309  df-lshyp 38310  df-lcv 38352  df-lfl 38391  df-ldual 38457  df-oposet 38509  df-ol 38511  df-oml 38512  df-covers 38599  df-ats 38600  df-atl 38631  df-cvlat 38655  df-hlat 38684  df-llines 38832  df-lplanes 38833  df-lvols 38834  df-lines 38835  df-psubsp 38837  df-pmap 38838  df-padd 39130  df-lhyp 39322  df-laut 39323  df-ldil 39438  df-ltrn 39439  df-trl 39493  df-tgrp 40077  df-tendo 40089  df-edring 40091  df-dveca 40337  df-disoa 40363  df-dvech 40413  df-dib 40473  df-dic 40507  df-dih 40563  df-doch 40682  df-djh 40729
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  40911  lcfrlem36  40912
  Copyright terms: Public domain W3C validator