Theorem lincsumscmcl 49196

Description: The sum of a linear combination and a multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincscmcl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lincscmcl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
lincsumscmcl.b	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincsumscmcl	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lincsumscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincscmcl.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
2		lincscmcl.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	1, 2	lincscmcl 49195	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
4	3	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
5		simpr3 1215	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
6	4, 5	jca 520	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
7		lincsumscmcl.b	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	7	lincsumcl 49194	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
9	6, 8	syldan 602	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LModclmod 20962   LinCo clinco 49168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-lmod 20964  df-linc 49169  df-lco 49170

This theorem is referenced by:  lincolss  49197