Theorem lincsumscmcl 47687

Description: The sum of a linear combination and a multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincscmcl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lincscmcl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
lincsumscmcl.b	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincsumscmcl	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lincsumscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincscmcl.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
2		lincscmcl.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	1, 2	lincscmcl 47686	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
4	3	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
5		simpr3 1193	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
6	4, 5	jca 510	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)))
7		lincsumscmcl.b	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	7	lincsumcl 47685	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))
9	6, 8	syldan 589	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))) → ((𝐶 · 𝐷) + 𝐵) ∈ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  𝒫 cpw 4604  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  LModclmod 20755   LinCo clinco 47659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-linc 47660  df-lco 47661

This theorem is referenced by:  lincolss  47688