MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiopp 28050
Description: Line mirroring produces points on the opposite side of the mirroring line. Theorem 10.14 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
lmiopp.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
lmiopp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
lmiopp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmiopp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmiopp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
lmiopp.n 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmiopp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lmiopp.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmiopp (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂(π‘€β€˜π΄))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑀,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑑,𝑂   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑑,π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem lmiopp
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lmiopp.m . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 lmiopp.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 lmiopp.o . 2 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 lmiopp.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 lmiopp.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 lmiopp.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
8 lmiopp.n . . 3 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
9 lmiopp.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
10 lmiopp.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmicl 28034 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝑃)
12 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = (π‘€β€˜π΄))
131, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5, 11islmib 28035 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) = (π‘€β€˜π΄) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿(π‘€β€˜π΄)) ∨ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄)))))
1412, 13mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿(π‘€β€˜π΄)) ∨ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄))))
1514simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷)
16 lmiopp.1 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
171, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmilmi 28037 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = 𝐴)
1817eqeq1d 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = (π‘€β€˜π΄) ↔ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11lmiinv 28040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷))
20 eqcom 2739 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2120a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴))
2218, 19, 213bitr3d 308 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴))
231, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmiinv 28040 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
2422, 23bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
2516, 24mtbird 324 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷)
261, 2, 3, 6, 7, 5, 11midbtwn 28027 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ (𝐴𝐼(π‘€β€˜π΄)))
271, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 16, 25, 26islnoppd 27988 1 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂(π‘€β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  2c2 12266  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 27675  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27679  Itvcitv 27681  LineGclng 27682  βŸ‚Gcperpg 27943  midGcmid 28020  lInvGclmi 28021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-trkgc 27696  df-trkgb 27697  df-trkgcb 27698  df-trkgld 27700  df-trkg 27701  df-cgrg 27759  df-leg 27831  df-mir 27901  df-rag 27942  df-perpg 27944  df-mid 28022  df-lmi 28023
This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  28053
  Copyright terms: Public domain W3C validator