MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiopp 28619
Description: Line mirroring produces points on the opposite side of the mirroring line. Theorem 10.14 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
lmiopp.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
lmiopp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
lmiopp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmiopp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmiopp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
lmiopp.n 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmiopp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
lmiopp.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmiopp (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂(π‘€β€˜π΄))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑀,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑑,𝑂   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑑,π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem lmiopp
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lmiopp.m . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 lmiopp.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 lmiopp.o . 2 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 lmiopp.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 lmiopp.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 lmiopp.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
8 lmiopp.n . . 3 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
9 lmiopp.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
10 lmiopp.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmicl 28603 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝑃)
12 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = (π‘€β€˜π΄))
131, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5, 11islmib 28604 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) = (π‘€β€˜π΄) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿(π‘€β€˜π΄)) ∨ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄)))))
1412, 13mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿(π‘€β€˜π΄)) ∨ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄))))
1514simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ 𝐷)
16 lmiopp.1 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
171, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmilmi 28606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = 𝐴)
1817eqeq1d 2730 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = (π‘€β€˜π΄) ↔ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11lmiinv 28609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘€β€˜π΄)) = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷))
20 eqcom 2735 . . . . . 6 (𝐴 = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2120a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (π‘€β€˜π΄) ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴))
2218, 19, 213bitr3d 309 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴))
231, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 5lmiinv 28609 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
2422, 23bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
2516, 24mtbird 325 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝐷)
261, 2, 3, 6, 7, 5, 11midbtwn 28596 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)(π‘€β€˜π΄)) ∈ (𝐴𝐼(π‘€β€˜π΄)))
271, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 16, 25, 26islnoppd 28557 1 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂(π‘€β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3944   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  2c2 12298  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28248  Itvcitv 28250  LineGclng 28251  βŸ‚Gcperpg 28512  midGcmid 28589  lInvGclmi 28590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkgld 28269  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-leg 28400  df-mir 28470  df-rag 28511  df-perpg 28513  df-mid 28591  df-lmi 28592
This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  28622
  Copyright terms: Public domain W3C validator