MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiopp 26167
Description: Line mirroring produces points on the opposite side of the mirroring line. Theorem 10.14 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m = (dist‘𝐺)
lmiopp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lmiopp.n 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmiopp.a (𝜑𝐴𝑃)
lmiopp.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmiopp (𝜑𝐴𝑂(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑀,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lmiopp
StepHypRef Expression
1 lmiopp.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2 lmiopp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 lmiopp.m . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
4 lmiopp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 lmiopp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 lmiopp.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
7 lmiopp.n . . . . . . . . 9 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
8 lmiopp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 lmiopp.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 lmiopp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmilmi 26154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐴)) = 𝐴)
1211eqeq1d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴) ↔ 𝐴 = (𝑀𝐴)))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmicl 26151 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13lmiinv 26157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷))
15 eqcom 2785 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴))
1712, 14, 163bitr3d 301 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴))
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmiinv 26157 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴𝐷))
1917, 18bitrd 271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) ∈ 𝐷𝐴𝐷))
201, 19mtbird 317 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷)
211, 20jca 507 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷))
22 eqidd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐴))
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13islmib 26152 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿(𝑀𝐴)) ∨ 𝐴 = (𝑀𝐴)))))
2422, 23mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿(𝑀𝐴)) ∨ 𝐴 = (𝑀𝐴))))
2524simpld 490 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷)
262, 3, 4, 5, 6, 10, 13midbtwn 26144 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
27 eleq1 2847 . . . . 5 (𝑡 = (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))))
2827rspcev 3511 . . . 4 (((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
2925, 26, 28syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
3021, 29jca 507 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))))
31 lmiopp.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
322, 3, 4, 31, 10, 13islnopp 26104 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑀𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))))
3330, 32mpbird 249 1 (𝜑𝐴𝑂(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  cdif 3789   class class class wbr 4888  {copab 4950  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  2c2 11435  Basecbs 16266  distcds 16358  TarskiGcstrkg 25798  DimTarskiGcstrkgld 25802  Itvcitv 25804  LineGclng 25805  ⟂Gcperpg 26063  midGcmid 26137  lInvGclmi 26138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-concat 13667  df-s1 13692  df-s2 14005  df-s3 14006  df-trkgc 25816  df-trkgb 25817  df-trkgcb 25818  df-trkgld 25820  df-trkg 25821  df-cgrg 25879  df-leg 25951  df-mir 26021  df-rag 26062  df-perpg 26064  df-mid 26139  df-lmi 26140
This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  26170
  Copyright terms: Public domain W3C validator