Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochflcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochflcl 39145
Description: Closure of the explicit functional 𝐺 determined by a nonzero vector 𝑋. Compare the more general lshpkrcl 36786. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochflcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochflcl.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochflcl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochflcl.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochflcl.z 0 = (0g𝑈)
dochflcl.a + = (+g𝑈)
dochflcl.t · = ( ·𝑠𝑈)
dochflcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochflcl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochflcl.r 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochflcl.g 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
dochflcl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochflcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochflcl (𝜑𝐺𝐹)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝐷,𝑘   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochflcl
StepHypRef Expression
1 dochflcl.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 dochflcl.a . 2 + = (+g𝑈)
3 eqid 2739 . 2 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4 eqid 2739 . 2 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5 eqid 2739 . 2 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6 dochflcl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dochflcl.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dochflcl.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlvec 38779 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 dochflcl.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11 dochflcl.z . . 3 0 = (0g𝑈)
12 dochflcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
136, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12dochsnshp 39123 . 2 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
1412eldifad 3865 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
156, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12dochexmidat 39129 . 2 (𝜑 → (( ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
16 dochflcl.d . 2 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
17 dochflcl.r . 2 𝑅 = (Base‘𝐷)
18 dochflcl.t . 2 · = ( ·𝑠𝑈)
19 dochflcl.g . 2 𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
20 dochflcl.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
211, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkrcl 36786 1 (𝜑𝐺𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055  cdif 3850  {csn 4526  cmpt 5120  cfv 6350  crio 7139  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  +gcplusg 16681  Scalarcsca 16684   ·𝑠 cvsca 16685  0gc0g 16829  LSSumclsm 18890  LSpanclspn 19875  LSHypclsh 36645  LFnlclfn 36727  HLchlt 37020  LHypclh 37654  DVecHcdvh 38748  ocHcoch 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-undef 7981  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-0g 16831  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-lsm 18892  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-dvr 19568  df-drng 19636  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-lvec 20007  df-lsatoms 36646  df-lshyp 36647  df-lfl 36728  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tgrp 38413  df-tendo 38425  df-edring 38427  df-dveca 38673  df-disoa 38699  df-dvech 38749  df-dib 38809  df-dic 38843  df-dih 38899  df-doch 39018  df-djh 39065
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  39168  lcfl7lem  39169  lcfrlem9  39220  lcfrlem10  39222
  Copyright terms: Public domain W3C validator