Theorem dochflcl 42106

Description: Closure of the explicit functional 𝐺 determined by a nonzero vector 𝑋. Compare the more general lshpkrcl 39747. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochflcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochflcl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochflcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochflcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochflcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochflcl.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochflcl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochflcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochflcl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochflcl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochflcl.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
dochflcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochflcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochflcl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝐷,𝑘   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochflcl.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		dochflcl.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochflcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dochflcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dochflcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 41740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10		dochflcl.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		dochflcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		dochflcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	6, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12	dochsnshp 42084	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
14	12	eldifad 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	6, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12	dochexmidat 42090	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
16		dochflcl.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
17		dochflcl.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
18		dochflcl.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		dochflcl.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
20		dochflcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkrcl 39747	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  ℩crio 7356  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480  LSSumclsm 19692  LSpanclspn 21058  LSHypclsh 39606  LFnlclfn 39688  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  ocHcoch 41978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lsatoms 39607  df-lshyp 39608  df-lfl 39689  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tgrp 41374  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-dveca 41634  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979  df-djh 42026

This theorem is referenced by:  lcfl6lem  42129  lcfl7lem  42130  lcfrlem9  42181  lcfrlem10  42183