Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjustlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjustlem 37826
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 4, "the definition of phi(x) is independent of the atom q." (Contributed by NM, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjust.l = (le‘𝐾)
dihjust.j = (join‘𝐾)
dihjust.m = (meet‘𝐾)
dihjust.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjust.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjust.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.s = (LSSum‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihjustlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))))

Proof of Theorem dihjustlem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1177 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 35974 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1270 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑄𝐴)
4 dihjust.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 dihjust.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35899 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑄𝐵)
8 simp23 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑋𝐵)
9 simp1r 1178 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐻)
10 dihjust.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 36608 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐵)
13 dihjust.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 17532 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
152, 8, 12, 14syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
16 dihjust.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
17 dihjust.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
184, 16, 17latlej1 17540 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑄 (𝑄 (𝑋 𝑊)))
192, 7, 15, 18syl3anc 1351 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑄 (𝑄 (𝑋 𝑊)))
20 simp3 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊)))
2119, 20breqtrd 4951 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑄 (𝑅 (𝑋 𝑊)))
22 simp1 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simp22 1187 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
24 simp21 1186 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
254, 16, 13latmle2 17557 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
262, 8, 12, 25syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
2715, 26jca 504 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊))
28 dihjust.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
29 dihjust.J . . . . 5 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
30 dihjust.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
31 dihjust.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑈)
324, 16, 17, 5, 10, 28, 29, 30, 31cdlemn 37822 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊))) → (𝑄 (𝑅 (𝑋 𝑊)) ↔ (𝐽𝑄) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
3322, 23, 24, 27, 32syl13anc 1352 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝑄 (𝑅 (𝑋 𝑊)) ↔ (𝐽𝑄) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
3421, 33mpbid 224 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐽𝑄) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
3510, 30, 22dvhlmod 37720 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → 𝑈 ∈ LMod)
36 eqid 2772 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
3736lsssssubg 19464 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3835, 37syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3916, 5, 10, 30, 29, 36diclss 37803 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4022, 23, 39syl2anc 576 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐽𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4138, 40sseldd 3853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐽𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑈))
424, 16, 10, 30, 28, 36diblss 37780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4322, 15, 26, 42syl12anc 824 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4438, 43sseldd 3853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
4531lsmub2 18555 . . 3 (((𝐽𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
4641, 44, 45syl2anc 576 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
4716, 5, 10, 30, 29, 36diclss 37803 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐽𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4822, 24, 47syl2anc 576 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐽𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4938, 48sseldd 3853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (𝐽𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
5036, 31lsmcl 19589 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐽𝑅) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5135, 40, 43, 50syl3anc 1351 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5238, 51sseldd 3853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∈ (SubGrp‘𝑈))
5331lsmlub 18561 . . 3 (((𝐽𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((𝐽𝑄) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∧ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
5449, 44, 52, 53syl3anc 1351 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → (((𝐽𝑄) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ∧ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊)))))
5534, 46, 54mpbi2and 699 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑄 (𝑋 𝑊)) = (𝑅 (𝑋 𝑊))) → ((𝐽𝑄) (𝐼‘(𝑋 𝑊))) ⊆ ((𝐽𝑅) (𝐼‘(𝑋 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3823   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  lecple 16426  joincjn 17424  meetcmee 17425  Latclat 17525  SubGrpcsubg 18069  LSSumclsm 18532  LModclmod 19368  LSubSpclss 19437  Atomscatm 35873  HLchlt 35960  LHypclh 36594  DVecHcdvh 37688  DIsoBcdib 37748  DIsoCcdic 37782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35563
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-llines 36108  df-lplanes 36109  df-lvols 36110  df-lines 36111  df-psubsp 36113  df-pmap 36114  df-padd 36406  df-lhyp 36598  df-laut 36599  df-ldil 36714  df-ltrn 36715  df-trl 36769  df-tendo 37365  df-edring 37367  df-disoa 37639  df-dvech 37689  df-dib 37749  df-dic 37783
This theorem is referenced by:  dihjust  37827
  Copyright terms: Public domain W3C validator