Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrslem2 39548
Description: The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is closed under scalar product. (Contributed by NM, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrslem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrslem1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrslem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrslem1.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrslem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrslem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lclkrslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lclkrslem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lclkrslem1.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)}
lclkrslem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrslem1.q (𝜑𝑄𝑆)
lclkrslem1.g (𝜑𝐺𝐶)
lclkrslem2.p + = (+g𝐷)
lclkrslem2.e (𝜑𝐸𝐶)
Assertion
Ref Expression
lclkrslem2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   𝑄,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐸   + ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrslem2
StepHypRef Expression
1 lclkrslem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrslem1.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrslem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrslem1.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 lclkrslem1.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 lclkrslem1.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7 lclkrslem2.p . . 3 + = (+g𝐷)
8 eqid 2740 . . 3 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
9 lclkrslem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lclkrslem2.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐶)
11 lclkrslem1.c . . . . . 6 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)}
1211, 8lcfls1c 39546 . . . . 5 (𝐸𝐶 ↔ (𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
1312simplbi 498 . . . 4 (𝐸𝐶𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
15 lclkrslem1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐶)
1611, 8lcfls1c 39546 . . . . 5 (𝐺𝐶 ↔ (𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
1716simplbi 498 . . . 4 (𝐺𝐶𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 18lclkrlem2 39542 . 2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
20 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
211, 3, 9dvhlmod 39120 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2211lcfls1lem 39544 . . . . . . . 8 (𝐸𝐶 ↔ (𝐸𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
2310, 22sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
2423simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝐹)
2511lcfls1lem 39544 . . . . . . . 8 (𝐺𝐶 ↔ (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
2615, 25sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
2726simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
284, 6, 7, 21, 24, 27ldualvaddcl 37140 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
2920, 4, 5, 21, 28lkrssv 37106 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈))
304, 5, 6, 7, 21, 24, 27lkrin 37174 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
311, 3, 20, 2dochss 39375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))))
329, 29, 30, 31syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))))
33 eqid 2740 . . . . . 6 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
34 eqid 2740 . . . . . 6 ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
3523simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
361, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 24lcfl5a 39507 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ↔ (𝐿𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
3735, 36mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3826simp2d 1142 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
391, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 27lcfl5a 39507 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ (𝐿𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
4038, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
411, 33, 3, 20, 2, 34, 9, 37, 40dochdmm1 39420 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺))))
42 eqid 2740 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4320, 4, 5, 21, 24lkrssv 37106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈))
441, 33, 3, 20, 2dochcl 39363 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
459, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
461, 33, 2, 3, 42, 4, 5, 9, 45, 27dochkrsm 39468 . . . . . 6 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
47 lclkrslem1.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
481, 3, 20, 47, 2dochlss 39364 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ 𝑆)
499, 43, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ 𝑆)
5020, 4, 5, 21, 27lkrssv 37106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
511, 3, 20, 47, 2dochlss 39364 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝑆)
529, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝑆)
531, 3, 20, 47, 42, 33, 34, 9, 49, 52djhlsmcl 39424 . . . . . 6 (𝜑 → ((( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺)))))
5446, 53mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺))))
5541, 54eqtr4d 2783 . . . 4 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))))
5623simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄)
5726simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄)
5847lsssssubg 20218 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
5921, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
6059, 49sseldd 3927 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6159, 52sseldd 3927 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
62 lclkrslem1.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
6359, 62sseldd 3927 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈))
6442lsmlub 19268 . . . . . 6 ((( ‘(𝐿𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄))
6560, 61, 63, 64syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄))
6656, 57, 65mpbi2and 709 . . . 4 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄)
6755, 66eqsstrd 3964 . . 3 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄)
6832, 67sstrd 3936 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄)
6911, 8lcfls1c 39546 . 2 ((𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄))
7019, 68, 69sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  {crab 3070  cin 3891  wss 3892  ran crn 5591  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  Scalarcsca 16963   ·𝑠 cvsca 16964  SubGrpcsubg 18747  LSSumclsm 19237  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  LFnlclfn 37067  LKerclk 37095  LDualcld 37133  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  DIsoHcdih 39238  ocHcoch 39357  joinHcdjh 39404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405
This theorem is referenced by:  lclkrs  39549
  Copyright terms: Public domain W3C validator