Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrslem2 40865
Description: The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is closed under scalar product. (Contributed by NM, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrslem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrslem1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrslem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrslem1.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrslem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrslem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lclkrslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lclkrslem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lclkrslem1.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)}
lclkrslem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrslem1.q (𝜑𝑄𝑆)
lclkrslem1.g (𝜑𝐺𝐶)
lclkrslem2.p + = (+g𝐷)
lclkrslem2.e (𝜑𝐸𝐶)
Assertion
Ref Expression
lclkrslem2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   𝑄,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐸   + ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrslem2
StepHypRef Expression
1 lclkrslem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrslem1.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrslem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrslem1.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 lclkrslem1.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 lclkrslem1.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7 lclkrslem2.p . . 3 + = (+g𝐷)
8 eqid 2724 . . 3 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
9 lclkrslem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lclkrslem2.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐶)
11 lclkrslem1.c . . . . . 6 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)}
1211, 8lcfls1c 40863 . . . . 5 (𝐸𝐶 ↔ (𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
1312simplbi 497 . . . 4 (𝐸𝐶𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
15 lclkrslem1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐶)
1611, 8lcfls1c 40863 . . . . 5 (𝐺𝐶 ↔ (𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
1716simplbi 497 . . . 4 (𝐺𝐶𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 18lclkrlem2 40859 . 2 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
20 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
211, 3, 9dvhlmod 40437 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2211lcfls1lem 40861 . . . . . . . 8 (𝐸𝐶 ↔ (𝐸𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
2310, 22sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ∧ ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄))
2423simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝐹)
2511lcfls1lem 40861 . . . . . . . 8 (𝐺𝐶 ↔ (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
2615, 25sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄))
2726simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
284, 6, 7, 21, 24, 27ldualvaddcl 38456 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
2920, 4, 5, 21, 28lkrssv 38422 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈))
304, 5, 6, 7, 21, 24, 27lkrin 38490 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
311, 3, 20, 2dochss 40692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))))
329, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))))
33 eqid 2724 . . . . . 6 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
34 eqid 2724 . . . . . 6 ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
3523simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸))
361, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 24lcfl5a 40824 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐸))) = (𝐿𝐸) ↔ (𝐿𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
3735, 36mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3826simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
391, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 27lcfl5a 40824 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ (𝐿𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
4038, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
411, 33, 3, 20, 2, 34, 9, 37, 40dochdmm1 40737 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺))))
42 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4320, 4, 5, 21, 24lkrssv 38422 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈))
441, 33, 3, 20, 2dochcl 40680 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
459, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
461, 33, 2, 3, 42, 4, 5, 9, 45, 27dochkrsm 40785 . . . . . 6 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
47 lclkrslem1.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
481, 3, 20, 47, 2dochlss 40681 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ 𝑆)
499, 43, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ 𝑆)
5020, 4, 5, 21, 27lkrssv 38422 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
511, 3, 20, 47, 2dochlss 40681 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝑆)
529, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝑆)
531, 3, 20, 47, 42, 33, 34, 9, 49, 52djhlsmcl 40741 . . . . . 6 (𝜑 → ((( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺)))))
5446, 53mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ‘(𝐿𝐺))))
5541, 54eqtr4d 2767 . . . 4 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) = (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))))
5623simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄)
5726simp3d 1141 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄)
5847lsssssubg 20794 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
5921, 58syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
6059, 49sseldd 3975 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6159, 52sseldd 3975 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
62 lclkrslem1.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
6359, 62sseldd 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈))
6442lsmlub 19573 . . . . . 6 ((( ‘(𝐿𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄))
6560, 61, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((( ‘(𝐿𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄))
6656, 57, 65mpbi2and 709 . . . 4 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐸))(LSSum‘𝑈)( ‘(𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄)
6755, 66eqsstrd 4012 . . 3 (𝜑 → ( ‘((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺))) ⊆ 𝑄)
6832, 67sstrd 3984 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄)
6911, 8lcfls1c 40863 . 2 ((𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∧ ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄))
7019, 68, 69sylanbrc 582 1 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  cin 3939  wss 3940  ran crn 5667  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543  LModclmod 20695  LSubSpclss 20767  LFnlclfn 38383  LKerclk 38411  LDualcld 38449  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  DIsoHcdih 40555  ocHcoch 40674  joinHcdjh 40721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722
This theorem is referenced by:  lclkrs  40866
  Copyright terms: Public domain W3C validator