Theorem lclkrslem2 42374

Description: The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is closed under scalar product. (Contributed by NM, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrslem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrslem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrslem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrslem1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrslem1.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrslem1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrslem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lclkrslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lclkrslem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lclkrslem1.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄)}
lclkrslem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrslem1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
lclkrslem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
lclkrslem2.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrslem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lclkrslem2	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   𝑄,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐸   + ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrslem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrslem1.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrslem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrslem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		lclkrslem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		lclkrslem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7		lclkrslem2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
9		lclkrslem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lclkrslem2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)
11		lclkrslem1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄)}
12	11, 8	lcfls1c 42372	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ (𝐸 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄))
13	12	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 → 𝐸 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
14	10, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
15		lclkrslem1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
16	11, 8	lcfls1c 42372	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐺 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄))
17	16	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 18	lclkrlem2 42368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
21	1, 3, 9	dvhlmod 41946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	11	lcfls1lem 42370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ (𝐸 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄))
23	10, 22	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄))
24	23	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
25	11	lcfls1lem 42370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄))
26	15, 25	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄))
27	26	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
28	4, 6, 7, 21, 24, 27	ldualvaddcl 39966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
29	20, 4, 5, 21, 28	lkrssv 39932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈))
30	4, 5, 6, 7, 21, 24, 27	lkrin 40000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
31	1, 3, 20, 2	dochss 42201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ⊥ ‘((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺))))
32	9, 29, 30, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ ( ⊥ ‘((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺))))
33		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
34		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
35	23	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
36	1, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 24	lcfl5a 42333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ↔ (𝐿‘𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
37	35, 36	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
38	26	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
39	1, 33, 2, 3, 4, 5, 9, 27	lcfl5a 42333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
40	38, 39	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
41	1, 33, 3, 20, 2, 34, 9, 37, 40	dochdmm1 42246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺))) = (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
42		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
43	20, 4, 5, 21, 24	lkrssv 39932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ⊆ (Base‘𝑈))
44	1, 33, 3, 20, 2	dochcl 42189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
45	9, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
46	1, 33, 2, 3, 42, 4, 5, 9, 45, 27	dochkrsm 42294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
47		lclkrslem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
48	1, 3, 20, 47, 2	dochlss 42190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐸) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ 𝑆)
49	9, 43, 48	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ 𝑆)
50	20, 4, 5, 21, 27	lkrssv 39932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
51	1, 3, 20, 47, 2	dochlss 42190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝑆)
52	9, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝑆)
53	1, 3, 20, 47, 42, 33, 34, 9, 49, 52	djhlsmcl 42250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
54	46, 53	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))((joinH‘𝐾)‘𝑊)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
55	41, 54	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺))) = (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
56	23	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄)
57	26	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄)
58	47	lsssssubg 21133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
59	21, 58	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
60	59, 49	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
61	59, 52	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
62		lclkrslem1.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
63	59, 62	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈))
64	42	lsmlub 19782	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ⊆ 𝑄))
65	60, 61, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸)) ⊆ 𝑄 ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑄) ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ⊆ 𝑄))
66	56, 57, 65	mpbi2and 725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))(LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ⊆ 𝑄)
67	55, 66	eqsstrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺))) ⊆ 𝑄)
68	32, 67	sstrd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄)
69	11, 8	lcfls1c 42372	. 2 ⊢ ((𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐸 + 𝐺) ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) ⊆ 𝑄))
70	19, 68, 69	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  Scalarcsca 17339   ·_𝑠 cvsca 17340  SubGrpcsubg 19234  LSSumclsm 19752  LModclmod 21035  LSubSpclss 21106  LFnlclfn 39893  LKerclk 39921  LDualcld 39959  HLchlt 40186  LHypclh 40820  DVecHcdvh 41914  DIsoHcdih 42064  ocHcoch 42183  joinHcdjh 42230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-0g 17520  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-oppg 19464  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-dvr 20533  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lsatoms 39812  df-lshyp 39813  df-lcv 39855  df-lfl 39894  df-lkr 39922  df-ldual 39960  df-oposet 40012  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tgrp 41579  df-tendo 41591  df-edring 41593  df-dveca 41839  df-disoa 41865  df-dvech 41915  df-dib 41975  df-dic 42009  df-dih 42065  df-doch 42184  df-djh 42231

This theorem is used by:  lclkrs  42375