Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2v Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2v 40387
Description: Lemma for lclkr 40392. When the hypotheses of lclkrlem2u 40386 and lclkrlem2u 40386 are negated, the functional sum must be zero, so the kernel is the vector space. We make use of the law of excluded middle, dochexmid 40327, which requires the orthomodular law dihoml4 40236 (Lemma 3.3 of [Holland95] p. 214). (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lclkrlem2o.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
lclkrlem2v.j (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
lclkrlem2v.k (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2v (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
Proof of Theorem lclkrlem2v
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
3 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
4 lclkrlem2o.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 lclkrlem2o.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 lclkrlem2o.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 39969 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
9 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
10 lclkrlem2m.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
11 lclkrlem2m.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
122, 8, 9, 7, 10, 11ldualvaddcl 37988 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
131, 2, 3, 7, 12lkrssv 37954 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) βŠ† 𝑉)
14 lclkrlem2o.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2732 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
16 lclkrlem2o.a . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
18 lclkrlem2m.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lclkrlem2m.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
201, 15, 17, 7, 18, 19lspprcl 20581 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
21 eqid 2732 . . . . . 6 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
224, 5, 1, 17, 21, 6, 18, 19dihprrn 40285 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
231, 15lssss 20539 . . . . . . 7 ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
254, 21, 5, 1, 14, 6, 24dochoccl 40228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2622, 25mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
274, 14, 5, 1, 15, 16, 6, 20, 26dochexmid 40327 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = 𝑉)
28 lclkrlem2m.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
29 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
30 lclkrlem2m.q . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
31 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘†)
32 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
33 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
344, 5, 6dvhlvec 39968 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
35 lclkrlem2v.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
36 lclkrlem2v.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
371, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 2, 8, 9, 18, 19, 10, 11, 17, 3, 34, 35, 36lclkrlem2n 40379 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
3818snssd 4811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
3919snssd 4811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
404, 5, 1, 14dochdmj1 40249 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
416, 38, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
42 df-pr 4630 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
4342fveq2i 6891 . . . . . . . 8 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
4443fveq2i 6891 . . . . . . 7 ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
4538, 39unssd 4185 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
464, 5, 14, 1, 17, 6, 45dochocsp 40238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))) = ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
4744, 46eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
48 lclkrlem2q.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
49 lclkrlem2q.lg . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
5048, 49ineq12d 4212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
5141, 47, 503eqtr4d 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)))
522, 3, 8, 9, 7, 10, 11lkrin 38022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
5351, 52eqsstrd 4019 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
5415lsssssubg 20561 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
557, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5655, 20sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
574, 5, 1, 15, 14dochlss 40213 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
586, 24, 57syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
5955, 58sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
602, 3, 15lkrlss 37953 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
617, 12, 60syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6255, 61sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
6316lsmlub 19526 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))))
6456, 59, 62, 63syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))))
6537, 53, 64mpbi2and 710 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
6627, 65eqsstrrd 4020 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
6713, 66eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  invrcinvr 20193  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LFnlclfn 37915  LKerclk 37943  LDualcld 37981  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  DIsoHcdih 40087  ocHcoch 40206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254
This theorem is referenced by:  lclkrlem2w  40388
  Copyright terms: Public domain W3C validator