Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2v Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2v 41056
Description: Lemma for lclkr 41061. When the hypotheses of lclkrlem2u 41055 and lclkrlem2u 41055 are negated, the functional sum must be zero, so the kernel is the vector space. We make use of the law of excluded middle, dochexmid 40996, which requires the orthomodular law dihoml4 40905 (Lemma 3.3 of [Holland95] p. 214). (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lclkrlem2m.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2m.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2m.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lclkrlem2o.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2o.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2o.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
lclkrlem2v.j (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
lclkrlem2v.k (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2v (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
Proof of Theorem lclkrlem2v
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
3 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
4 lclkrlem2o.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 lclkrlem2o.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 lclkrlem2o.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 40638 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
9 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
10 lclkrlem2m.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
11 lclkrlem2m.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
122, 8, 9, 7, 10, 11ldualvaddcl 38657 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
131, 2, 3, 7, 12lkrssv 38623 . 2 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) βŠ† 𝑉)
14 lclkrlem2o.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2725 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
16 lclkrlem2o.a . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
17 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
18 lclkrlem2m.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lclkrlem2m.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
201, 15, 17, 7, 18, 19lspprcl 20864 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
21 eqid 2725 . . . . . 6 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
224, 5, 1, 17, 21, 6, 18, 19dihprrn 40954 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
231, 15lssss 20822 . . . . . . 7 ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
254, 21, 5, 1, 14, 6, 24dochoccl 40897 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2622, 25mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
274, 14, 5, 1, 15, 16, 6, 20, 26dochexmid 40996 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) = 𝑉)
28 lclkrlem2m.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
29 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
30 lclkrlem2m.q . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
31 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘†)
32 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
33 lclkrlem2m.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
344, 5, 6dvhlvec 40637 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
35 lclkrlem2v.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = 0 )
36 lclkrlem2v.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = 0 )
371, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 2, 8, 9, 18, 19, 10, 11, 17, 3, 34, 35, 36lclkrlem2n 41048 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
3818snssd 4808 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
3919snssd 4808 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
404, 5, 1, 14dochdmj1 40918 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
416, 38, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
42 df-pr 4627 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
4342fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))
4443fveq2i 6894 . . . . . . 7 ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
4538, 39unssd 4180 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
464, 5, 14, 1, 17, 6, 45dochocsp 40907 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}))) = ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
4744, 46eqtrid 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ( βŠ₯ β€˜({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})))
48 lclkrlem2q.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
49 lclkrlem2q.lg . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
5048, 49ineq12d 4207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) = (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ})))
5141, 47, 503eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)))
522, 3, 8, 9, 7, 10, 11lkrin 38691 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΈ) ∩ (πΏβ€˜πΊ)) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
5351, 52eqsstrd 4011 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
5415lsssssubg 20844 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
557, 54syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5655, 20sseldd 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
574, 5, 1, 15, 14dochlss 40882 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
586, 24, 57syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
5955, 58sseldd 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
602, 3, 15lkrlss 38622 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
617, 12, 60syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6255, 61sseldd 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
6316lsmlub 19621 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))))
6456, 59, 62, 63syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) ∧ ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))) ↔ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺))))
6537, 53, 64mpbi2and 710 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ• ( βŠ₯ β€˜(π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
6627, 65eqsstrrd 4012 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
6713, 66eqssd 3990 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {csn 4624  {cpr 4626  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  -gcsg 18894  SubGrpcsubg 19077  LSSumclsm 19591  invrcinvr 20328  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LFnlclfn 38584  LKerclk 38612  LDualcld 38650  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  DIsoHcdih 40756  ocHcoch 40875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lcv 38546  df-lfl 38585  df-lkr 38613  df-ldual 38651  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dveca 40531  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876  df-djh 40923
This theorem is referenced by:  lclkrlem2w  41057
  Copyright terms: Public domain W3C validator