Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat 36168
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 30155 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lsatcvat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
109adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑄𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
1211adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑅𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
1413adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
1615adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
17 simpr 487 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 36167 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝐴)
195adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
207adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝑆)
2111adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑅𝐴)
229adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑄𝐴)
2313adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
24 lveclmod 19870 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
26 lmodabl 19673 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
282lsssssubg 19722 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
302, 4, 25, 9lsatlssel 36115 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑆)
3129, 30sseldd 3966 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
322, 4, 25, 11lsatlssel 36115 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝑆)
3329, 32sseldd 3966 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
343lsmcom 18970 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3635psseq2d 4068 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄)))
3715, 36mpbid 234 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
3837adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
39 simpr 487 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → ¬ 𝑅𝑈)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 36167 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝐴)
4129, 7sseldd 3966 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
423lsmlub 18782 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
44 ssnpss 4078 . . . . . 6 ((𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4543, 44syl6bi 255 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅)))
4645con2d 136 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → ¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈)))
47 ianor 977 . . . 4 (¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
4846, 47syl6ib 253 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈)))
4915, 48mpd 15 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
5018, 40, 49mpjaodan 954 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wss 3934  wpss 3935  {csn 4559  cfv 6348  (class class class)co 7148  0gc0g 16705  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  Abelcabl 18899  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LVecclvec 19866  LSAtomsclsa 36092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36094  df-lcv 36137
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  36169
  Copyright terms: Public domain W3C validator