Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat 37908
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 31626 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
109adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
1211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
1413adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
1615adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
17 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 37907 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
195adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
207adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2111adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
229adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2313adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
24 lveclmod 20709 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
26 lmodabl 20511 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
282lsssssubg 20561 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
302, 4, 25, 9lsatlssel 37855 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
3129, 30sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
322, 4, 25, 11lsatlssel 37855 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
3329, 32sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
343lsmcom 19720 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3635psseq2d 4092 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3715, 36mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
3837adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
39 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 37907 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4129, 7sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
423lsmlub 19526 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
44 ssnpss 4102 . . . . . 6 ((𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4543, 44syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4645con2d 134 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
47 ianor 980 . . . 4 (Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
4846, 47imbitrdi 250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
4915, 48mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
5018, 40, 49mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lcv 37877
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  37909
  Copyright terms: Public domain W3C validator