Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat 37920
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 31639 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
109adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
1211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
1413adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
1615adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
17 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 37919 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
195adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
207adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2111adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
229adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2313adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
24 lveclmod 20717 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
26 lmodabl 20519 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
282lsssssubg 20569 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
302, 4, 25, 9lsatlssel 37867 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
3129, 30sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
322, 4, 25, 11lsatlssel 37867 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
3329, 32sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
343lsmcom 19726 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3635psseq2d 4094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3715, 36mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
3837adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
39 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 37919 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4129, 7sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
423lsmlub 19532 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
44 ssnpss 4104 . . . . . 6 ((𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4543, 44syl6bi 253 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4645con2d 134 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
47 ianor 981 . . . 4 (Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
4846, 47imbitrdi 250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
4915, 48mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
5018, 40, 49mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0gc0g 17385  SubGrpcsubg 19000  LSSumclsm 19502  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LVecclvec 20713  LSAtomsclsa 37844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lcv 37889
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  37921
  Copyright terms: Public domain W3C validator