Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat 37541
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 31370 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
109adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
1211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
1413adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
1615adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
17 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 37540 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
195adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
207adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2111adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
229adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2313adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
24 lveclmod 20583 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
26 lmodabl 20385 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
282lsssssubg 20435 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
302, 4, 25, 9lsatlssel 37488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
3129, 30sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
322, 4, 25, 11lsatlssel 37488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
3329, 32sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
343lsmcom 19643 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3635psseq2d 4058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3715, 36mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
3837adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
39 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 37540 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4129, 7sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
423lsmlub 19453 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
44 ssnpss 4068 . . . . . 6 ((𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4543, 44syl6bi 253 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4645con2d 134 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
47 ianor 981 . . . 4 (Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
4846, 47syl6ib 251 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
4915, 48mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
5018, 40, 49mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  37542
  Copyright terms: Public domain W3C validator