Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat 38223
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 31906 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat.n (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
lsatcvat.l (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 lsatcvat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
109adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
1211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
1413adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
1615adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
17 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 38222 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
195adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
207adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2111adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
229adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2313adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
24 lveclmod 20861 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
26 lmodabl 20663 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
282lsssssubg 20713 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
302, 4, 25, 9lsatlssel 38170 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
3129, 30sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
322, 4, 25, 11lsatlssel 38170 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
3329, 32sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
343lsmcom 19767 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
3635psseq2d 4092 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) ↔ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3715, 36mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
3837adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (𝑅 βŠ• 𝑄))
39 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 38222 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4129, 7sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
423lsmlub 19573 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ))
44 ssnpss 4102 . . . . . 6 ((𝑄 βŠ• 𝑅) βŠ† π‘ˆ β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅))
4543, 44syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) β†’ Β¬ π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4645con2d 134 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
47 ianor 978 . . . 4 (Β¬ (𝑄 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑅 βŠ† π‘ˆ) ↔ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
4846, 47imbitrdi 250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ⊊ (𝑄 βŠ• 𝑅) β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)))
4915, 48mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑄 βŠ† π‘ˆ ∨ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ))
5018, 40, 49mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0gc0g 17389  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lcv 38192
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  38224
  Copyright terms: Public domain W3C validator