Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdlsp 38827
Description: Span in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlsp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlsp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlsp.m 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
lcdlsp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
lcdlsp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdlsp.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcdlsp (𝜑 → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))

Proof of Theorem lcdlsp
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
2 lcdlsp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2824 . . . . . 6 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdlsp.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdlsp.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8 lcdlsp.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 lcdlsp.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcdval 38795 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
1110fveq2d 6662 . . . 4 (𝜑 → (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
121, 11syl5eq 2871 . . 3 (𝜑𝑁 = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
1312fveq1d 6660 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
142, 5, 9dvhlmod 38316 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
158, 14lduallmod 36359 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
16 eqid 2824 . . . 4 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
17 eqid 2824 . . . 4 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
182, 5, 3, 6, 7, 8, 16, 17, 9lclkr 38739 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷))
19 lcdlsp.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
20 lcdlsp.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
212, 3, 4, 20, 5, 6, 7, 17, 9lcdvbase 38799 . . . 4 (𝜑𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
2219, 21sseqtrd 3992 . . 3 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
23 eqid 2824 . . . 4 (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
24 lcdlsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
25 eqid 2824 . . . 4 (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
2623, 24, 25, 16lsslsp 19780 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) → (𝑀𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
2715, 18, 22, 26syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
2813, 27eqtr4d 2862 1 (𝜑 → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3137  wss 3919  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  s cress 16480  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LFnlclfn 36263  LKerclk 36291  LDualcld 36329  HLchlt 36556  LHypclh 37190  DVecHcdvh 38284  ocHcoch 38553  LCDualclcd 38792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36159
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-tpos 7882  df-undef 7929  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36182  df-lshyp 36183  df-lcv 36225  df-lfl 36264  df-lkr 36292  df-ldual 36330  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-llines 36704  df-lplanes 36705  df-lvols 36706  df-lines 36707  df-psubsp 36709  df-pmap 36710  df-padd 37002  df-lhyp 37194  df-laut 37195  df-ldil 37310  df-ltrn 37311  df-trl 37365  df-tgrp 37949  df-tendo 37961  df-edring 37963  df-dveca 38209  df-disoa 38235  df-dvech 38285  df-dib 38345  df-dic 38379  df-dih 38435  df-doch 38554  df-djh 38601  df-lcdual 38793
This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  38828  mapdhvmap  38975
  Copyright terms: Public domain W3C validator