Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdlsp 39631
Description: Span in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdlsp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlsp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlsp.m 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
lcdlsp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
lcdlsp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdlsp.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcdlsp (𝜑 → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))

Proof of Theorem lcdlsp
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdlsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
2 lcdlsp.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2740 . . . . . 6 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdlsp.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdlsp.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2740 . . . . . 6 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7 eqid 2740 . . . . . 6 (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8 lcdlsp.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 lcdlsp.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcdval 39599 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
1110fveq2d 6775 . . . 4 (𝜑 → (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
121, 11eqtrid 2792 . . 3 (𝜑𝑁 = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
1312fveq1d 6773 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
142, 5, 9dvhlmod 39120 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
158, 14lduallmod 37163 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
16 eqid 2740 . . . 4 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
17 eqid 2740 . . . 4 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
182, 5, 3, 6, 7, 8, 16, 17, 9lclkr 39543 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷))
19 lcdlsp.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
20 lcdlsp.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
212, 3, 4, 20, 5, 6, 7, 17, 9lcdvbase 39603 . . . 4 (𝜑𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
2219, 21sseqtrd 3966 . . 3 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
23 eqid 2740 . . . 4 (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
24 lcdlsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
25 eqid 2740 . . . 4 (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
2623, 24, 25, 16lsslsp 20275 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) → (𝑀𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
2715, 18, 22, 26syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐺) = ((LSpan‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
2813, 27eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  {crab 3070  wss 3892  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  s cress 16939  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  LSpanclspn 20231  LFnlclfn 37067  LKerclk 37095  LDualcld 37133  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  ocHcoch 39357  LCDualclcd 39596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405  df-lcdual 39597
This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  39632  mapdhvmap  39779
  Copyright terms: Public domain W3C validator