Theorem lcdlsp 38917

Description: Span in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlsp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlsp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
lcdlsp.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlsp.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
lcdlsp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdlsp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcdlsp	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Proof of Theorem lcdlsp

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐶)
2		lcdlsp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdlsp.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdlsp.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		lcdlsp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcdlsp.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 38885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12	1, 11	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
13	12	fveq1d 6647	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐺) = ((LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
14	2, 5, 9	dvhlmod 38406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	8, 14	lduallmod 36449	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
17		eqid 2798	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
18	2, 5, 3, 6, 7, 8, 16, 17, 9	lclkr 38829	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷))
19		lcdlsp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐹)
20		lcdlsp.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21	2, 3, 4, 20, 5, 6, 7, 17, 9	lcdvbase 38889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
22	19, 21	sseqtrd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
23		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
24		lcdlsp.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝐷)
25		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
26	23, 24, 25, 16	lsslsp 19780	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) → (𝑀‘𝐺) = ((LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
27	15, 18, 22, 26	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐺) = ((LSpan‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))‘𝐺))
28	13, 27	eqtr4d 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LFnlclfn 36353  LKerclk 36381  LDualcld 36419  HLchlt 36646  LHypclh 37280  DVecHcdvh 38374  ocHcoch 38643  LCDualclcd 38882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-lshyp 36273  df-lcv 36315  df-lfl 36354  df-lkr 36382  df-ldual 36420  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tgrp 38039  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dveca 38299  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525  df-doch 38644  df-djh 38691  df-lcdual 38883

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  38918  mapdhvmap  39065