Theorem meaiunle 47682

Description: The measure of the union of countable sets is less than or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiunle.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiunle.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiunle.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meaiunle.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiunle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meaiunle	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem meaiunle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiunle.nph	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		meaiunle.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meaiunle.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4		meaiunle.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
5		meaiunle.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑆)
6		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑥 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑥))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑥 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑥)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	meaiunlelem 47681	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ≤ cle 11368  ℤ_≥cuz 12989  ..^cfzo 13812  Σ^{^}csumge0 47575  Meascmea 47662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-xadd 13266  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-salg 47522  df-sumge0 47576  df-mea 47663

This theorem is used by: (None)