Theorem midcgr 28525

Description: Congruence of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
midcgr.1	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
midcgr	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

Proof of Theorem midcgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		midcgr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝐶)
2		ismid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ismid.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		ismid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ismid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		midcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	midcl 28522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
11	1, 10	eqeltrrd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11	ismidb 28523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝐶))
13	1, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
14	13	oveq2d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) = (𝐶 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
15		eqid 2724	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
16		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
17	2, 3, 4, 15, 9, 5, 11, 16, 7	mircgr 28402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
18	14, 17	eqtr2d 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  2c2 12266  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 28172  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28176  Itvcitv 28178  LineGclng 28179  pInvGcmir 28397  midGcmid 28517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28193  df-trkgb 28194  df-trkgcb 28195  df-trkgld 28197  df-trkg 28198  df-cgrg 28256  df-leg 28328  df-mir 28398  df-rag 28439  df-perpg 28441  df-mid 28519

This theorem is referenced by:  midcom  28527  lmiisolem  28541  hypcgrlem1  28544  hypcgrlem2  28545