MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midcgr 28597
Description: Congruence of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
midcl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
midcgr.1 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
midcgr (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))

Proof of Theorem midcgr
StepHypRef Expression
1 midcgr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝐢)
2 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ismid.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 ismid.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ismid.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
7 midcl.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 midcl.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 eqid 2728 . . . . 5 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8midcl 28594 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝑃)
111, 10eqeltrrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11ismidb 28595 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = 𝐢))
131, 12mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄))
1413oveq2d 7436 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)))
15 eqid 2728 . . 3 (LineGβ€˜πΊ) = (LineGβ€˜πΊ)
16 eqid 2728 . . 3 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)
172, 3, 4, 15, 9, 5, 11, 16, 7mircgr 28474 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜πΆ)β€˜π΄)) = (𝐢 βˆ’ 𝐴))
1814, 17eqtr2d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  2c2 12298  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28248  Itvcitv 28250  LineGclng 28251  pInvGcmir 28469  midGcmid 28589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkgld 28269  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-leg 28400  df-mir 28470  df-rag 28511  df-perpg 28513  df-mid 28591
This theorem is referenced by:  midcom  28599  lmiisolem  28613  hypcgrlem1  28616  hypcgrlem2  28617
  Copyright terms: Public domain W3C validator