MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicom 26266
Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
islmib.b (𝜑𝐵𝑃)
lmicom.1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmicom (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmicl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
7 islmib.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7midcom 26260 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
9 lmicom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
109eqcomd 2778 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
11 lmif.m . . . . . . 7 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
12 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
13 lmif.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7islmib 26265 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))))
1510, 14mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
1615simpld 487 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷)
178, 16eqeltrrd 2861 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷)
1815simprd 488 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918orcomd 857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
2019ord 850 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
214adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
237adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
2524neqned 2968 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
261, 3, 12, 21, 22, 23, 25tglinecom 26113 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
2726breq2d 4935 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
2827pm5.74da 791 . . . . . . 7 (𝜑 → ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))))
2920, 28mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3029orrd 849 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3130orcomd 857 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32 eqcom 2779 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
3332orbi2i 896 . . . 4 ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
3431, 33sylib 210 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
351, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6islmib 26265 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐵) ↔ ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))))
3617, 34, 35mpbir2and 700 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑀𝐵))
3736eqcomd 2778 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048   class class class wbr 4923  ran crn 5401  cfv 6182  (class class class)co 6970  2c2 11488  Basecbs 16329  distcds 16420  TarskiGcstrkg 25908  DimTarskiGcstrkgld 25912  Itvcitv 25914  LineGclng 25915  ⟂Gcperpg 26173  midGcmid 26250  lInvGclmi 26251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-dju 9116  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-concat 13724  df-s1 13749  df-s2 14062  df-s3 14063  df-trkgc 25926  df-trkgb 25927  df-trkgcb 25928  df-trkgld 25930  df-trkg 25931  df-cgrg 25989  df-leg 26061  df-mir 26131  df-rag 26172  df-perpg 26174  df-mid 26252  df-lmi 26253
This theorem is referenced by:  lmilmi  26267
  Copyright terms: Public domain W3C validator