MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicom 28796
Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
islmib.b (𝜑𝐵𝑃)
lmicom.1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmicom (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmicl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
7 islmib.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7midcom 28790 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
9 lmicom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
109eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
11 lmif.m . . . . . . 7 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
12 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
13 lmif.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7islmib 28795 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))))
1510, 14mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
1615simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷)
178, 16eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷)
1815simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918orcomd 872 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
2019ord 865 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
214adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
237adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
2524neqned 2947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
261, 3, 12, 21, 22, 23, 25tglinecom 28643 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
2726breq2d 5155 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
2827pm5.74da 804 . . . . . . 7 (𝜑 → ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))))
2920, 28mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3029orrd 864 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3130orcomd 872 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32 eqcom 2744 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
3332orbi2i 913 . . . 4 ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
3431, 33sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
351, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6islmib 28795 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐵) ↔ ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))))
3617, 34, 35mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑀𝐵))
3736eqcomd 2743 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  DimTarskiGcstrkgld 28439  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  ⟂Gcperpg 28703  midGcmid 28780  lInvGclmi 28781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704  df-mid 28782  df-lmi 28783
This theorem is referenced by:  lmilmi  28797
  Copyright terms: Public domain W3C validator