MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicom 27730
Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
islmib.b (𝜑𝐵𝑃)
lmicom.1 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmicom (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmicl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
7 islmib.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7midcom 27724 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
9 lmicom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐵)
109eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
11 lmif.m . . . . . . 7 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
12 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
13 lmif.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7islmib 27729 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))))
1510, 14mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
1615simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷)
178, 16eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷)
1815simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1918orcomd 869 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
2019ord 862 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
214adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
237adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑃)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
2524neqned 2950 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
261, 3, 12, 21, 22, 23, 25tglinecom 27577 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
2726breq2d 5117 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
2827pm5.74da 802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))))
2920, 28mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3029orrd 861 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
3130orcomd 869 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32 eqcom 2743 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
3332orbi2i 911 . . . 4 ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
3431, 33sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
351, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6islmib 27729 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐵) ↔ ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))))
3617, 34, 35mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑀𝐵))
3736eqcomd 2742 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  2c2 12208  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  DimTarskiGcstrkgld 27373  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  ⟂Gcperpg 27637  midGcmid 27714  lInvGclmi 27715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkgld 27394  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-leg 27525  df-mir 27595  df-rag 27636  df-perpg 27638  df-mid 27716  df-lmi 27717
This theorem is referenced by:  lmilmi  27731
  Copyright terms: Public domain W3C validator