MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicom 27772
Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
islmib.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lmicom.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lmicom (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ismid.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 ismid.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 ismid.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
6 lmicl.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7 islmib.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7midcom 27766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) = (𝐡(midGβ€˜πΊ)𝐴))
9 lmicom.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐡)
109eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
11 lmif.m . . . . . . 7 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
12 lmif.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
13 lmif.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7islmib 27771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))))
1510, 14mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡)))
1615simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷)
178, 16eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ 𝐷)
1815simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
1918orcomd 870 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡)))
2019ord 863 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡)))
214adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
226adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
237adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
2524neqned 2951 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
261, 3, 12, 21, 22, 23, 25tglinecom 27619 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐡𝐿𝐴))
2726breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ↔ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴)))
2827pm5.74da 803 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡)) ↔ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴))))
2920, 28mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴)))
3029orrd 862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴)))
3130orcomd 870 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐡))
32 eqcom 2744 . . . . 5 (𝐴 = 𝐡 ↔ 𝐡 = 𝐴)
3332orbi2i 912 . . . 4 ((𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐡) ↔ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴) ∨ 𝐡 = 𝐴))
3431, 33sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴) ∨ 𝐡 = 𝐴))
351, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6islmib 27771 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (π‘€β€˜π΅) ↔ ((𝐡(midGβ€˜πΊ)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐡𝐿𝐴) ∨ 𝐡 = 𝐴))))
3617, 34, 35mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘€β€˜π΅))
3736eqcomd 2743 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  2c2 12215  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  βŸ‚Gcperpg 27679  midGcmid 27756  lInvGclmi 27757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-mid 27758  df-lmi 27759
This theorem is referenced by:  lmilmi  27773
  Copyright terms: Public domain W3C validator