Theorem lmicom 29305

Description: The line mirroring function is an involution. Theorem 10.4 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
islmib.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lmicom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lmicom	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmicom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmicl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		islmib.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	midcom 29299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
9		lmicom.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐵)
10	9	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
11		lmif.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
12		lmif.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
13		lmif.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 6, 7	islmib 29304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))))
15	10, 14	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)))
16	15	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝐷)
17	8, 16	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷)
18	15	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
19	18	orcomd 885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
20	19	ord 878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
21	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
23	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
25	24	neqned 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	1, 3, 12, 21, 22, 23, 25	tglinecom 29115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
27	26	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
28	27	pm5.74da 816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))))
29	20, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
30	29	orrd 877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)))
31	30	orcomd 885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
32		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
33	32	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
34	31, 33	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))
35	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 7, 6	islmib 29304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐵) ↔ ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴))))
36	17, 34, 35	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑀‘𝐵))
37	36	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  2c2 12407  Basecbs 17399  distcds 17449  TarskiGcstrkg 28901  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28905  Itvcitv 28907  LineGclng 28908  ⟂Gcperpg 29182  midGcmid 29289  lInvGclmi 29290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-hash 14485  df-word 14669  df-concat 14726  df-s1 14753  df-s2 15010  df-s3 15011  df-trkgc 28922  df-trkgb 28923  df-trkgcb 28924  df-trkgld 28926  df-trkg 28927  df-cgrg 28986  df-leg 29058  df-mir 29137  df-rag 29181  df-perpg 29183  df-mid 29291  df-lmi 29292

This theorem is used by:  lmilmi  29306