Theorem modp2nep1 47833

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/plus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modp2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modp2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12832	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		2z 12550	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12549	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
7		2m1e1 12293	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (abs‘(2 − 1)) = (abs‘1)
9		abs1 15250	. . . 4 ⊢ (abs‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (abs‘(2 − 1)) = 1
11		eluz2 12785	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
12		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
13		5re 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
15		zre 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17		1lt5 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
19		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
20	12, 14, 16, 18, 19	ltletrd 11297	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
22		1elfzo1 13660	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
23	1, 21, 22	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
25	10, 24	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(2 − 1)) ∈ (1..^𝑁))
26		modm1nep1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
27	26	mod2addne 47830	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(2 − 1)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
28	2, 3, 5, 6, 25, 27	syl131anc 1386	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  5c5 12230  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  pgnioedg2  48597