Theorem modp2nep1 47613

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/plus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modp2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modp2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12804	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		2z 12523	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
6		1zzd 12522	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
7		2m1e1 12266	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (abs‘(2 − 1)) = (abs‘1)
9		abs1 15220	. . . 4 ⊢ (abs‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (abs‘(2 − 1)) = 1
11		eluz2 12757	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
12		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
13		5re 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
15		zre 12492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17		1lt5 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
19		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
20	12, 14, 16, 18, 19	ltletrd 11293	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
21	11, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
22		1elfzo1 13630	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
23	1, 21, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
25	10, 24	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(2 − 1)) ∈ (1..^𝑁))
26		modm1nep1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
27	26	mod2addne 47610	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(2 − 1)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
28	2, 3, 5, 6, 25, 27	syl131anc 1385	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  5c5 12203  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  pgnioedg2  48355