Theorem pgnioedg2 48597

Description: An inside and an outside vertex not adjacent in a Petersen graph. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgnioedg1.g	⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
pgnioedg1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgnioedg2	⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem pgnioedg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5eluz3 12824	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
2		pglem 48579	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
4		1ex 11131	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
5		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 + 2) mod 5) ∈ V
6	4, 5	op1st 7943	. . . . 5 ⊢ (1st ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = 1
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9		pgnioedg1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (5 gPetersenGr 2)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11		pgnioedg1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	8, 9, 10, 11	gpgvtxedg1 48552	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ (1st ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = 1 ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
13	3, 6, 7, 12	mp3an12i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^5) ∧ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩)))
15		c0ex 11129	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 1) mod 5) ∈ V
17	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)))
18		0ne1 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
19		eqneqall 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
20	18, 19	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 1 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
22	17, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
24	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ↔ (0 = 0 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)))
25	4, 5	op2nd 7944	. . . . . . . 8 ⊢ (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) = ((𝑦 + 2) mod 5)
26	25	eqeq2i 2750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) ↔ ((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5))
27		5nn 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
28	27	nnzi 12542	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℤ
29		uzid 12794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ ℤ → 5 ∈ (ℤ≥‘5))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘5)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
32	31	modp2nep1 47833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 + 2) mod 5) ≠ ((𝑦 + 1) mod 5))
33	32	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑦 ∈ (0..^5)) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5))
34	30, 33	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5))
35		eqneqall 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5) → (((𝑦 + 1) mod 5) ≠ ((𝑦 + 2) mod 5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
36	34, 35	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = ((𝑦 + 2) mod 5) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
37	26, 36	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) mod 5) = (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
38	24, 37	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ → (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
39	38	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
40	15, 16	opth 5424	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ ↔ (0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)))
41	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 1 ∧ ((𝑦 + 1) mod 5) = (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
42	40, 41	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → (⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩ → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
44	23, 39, 43	3jaod 1432	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ((⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, (2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩)⟩ ∨ ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, (((2nd ‘⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩) − 2) mod 5)⟩) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
45	14, 44	syld 47	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ({⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸 → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸))
46	45	pm2.01d 190	1 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^5) → ¬ {⟨1, ((𝑦 + 2) mod 5)⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 5)⟩} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  5c5 12230  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ⌈cceil 13741   mod cmo 13819  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130   gPetersenGr cgpg 48528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-edgf 29072  df-vtx 29081  df-iedg 29082  df-edg 29131  df-umgr 29166  df-usgr 29234  df-gpg 48529

This theorem is referenced by:  pgnbgreunbgrlem5lem1  48608