Theorem modm2nep1 47993

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
2		modm1nep1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
3	1, 2	eleq2s 2887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
5		2cnd 12315	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
6	4, 5	negsubd 11571	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
8	7	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
9	8	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
10		eluz5nn 12911	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
13		1zzd 12621	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
14		2z 12622	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12698	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
17		ax-1cn 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	17, 18	subnegi 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − -2) = (1 + 2)
20		1p2e3 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
21	19, 20	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (1 − -2) = 3
22	21	fveq2i 6882	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = (abs‘3)
23		3nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	23	nn0absidi 15478	. . . . . 6 ⊢ (abs‘3) = 3
25	22, 24	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = 3
26		3nn 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ ℕ)
28		eluz2 12864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
29		3re 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
31		5re 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
33		zre 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		3lt5 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 5)
37		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
38	30, 32, 34, 36, 37	ltletrd 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
39	38	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
40	28, 39	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 < 𝑁)
41		elfzo1 13737	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (1..^𝑁) ↔ (3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑁))
42	27, 10, 40, 41	syl3anbrc 1360	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ (1..^𝑁))
43	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 3 ∈ (1..^𝑁))
44	25, 43	eqeltrid 2873	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
45	2	mod2addne 47991	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
46	11, 12, 13, 16, 44, 45	syl131anc 1408	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
47	46	necomd 3019	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
48	9, 47	eqnetrd 3031	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  -cneg 11438  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  5c5 12294  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  pgnioedg1  48757