Theorem modm2nep1 48109

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
2		modm1nep1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
3	1, 2	eleq2s 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
5		2cnd 12314	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
6	4, 5	negsubd 11570	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
8	7	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
9	8	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
10		eluz5nn 12910	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
13		1zzd 12620	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
14		2z 12621	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12697	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
17		ax-1cn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		2cn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	17, 18	subnegi 11532	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − -2) = (1 + 2)
20		1p2e3 12378	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
21	19, 20	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (1 − -2) = 3
22	21	fveq2i 6884	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = (abs‘3)
23		3nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	23	nn0absidi 15478	. . . . . 6 ⊢ (abs‘3) = 3
25	22, 24	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = 3
26		3nn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ ℕ)
28		eluz2 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
29		3re 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
31		5re 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
33		zre 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		3lt5 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 5)
37		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
38	30, 32, 34, 36, 37	ltletrd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
39	38	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
40	28, 39	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 < 𝑁)
41		elfzo1 13737	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (1..^𝑁) ↔ (3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑁))
42	27, 10, 40, 41	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ (1..^𝑁))
43	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 3 ∈ (1..^𝑁))
44	25, 43	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
45	2	mod2addne 48107	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
46	11, 12, 13, 16, 44, 45	syl131anc 1410	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
47	46	necomd 3013	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
48	9, 47	eqnetrd 3025	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  5c5 12293  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306

This theorem is referenced by:  pgnioedg1  48873