Theorem modm2nep1 48260

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
2		modm1nep1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
3	1, 2	eleq2s 2878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12726	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
5		2cnd 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
6	4, 5	negsubd 11599	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
8	7	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
9	8	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
10		eluz5nn 12940	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
13		1zzd 12649	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
14		2z 12650	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12727	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
17		ax-1cn 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		2cn 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	17, 18	subnegi 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − -2) = (1 + 2)
20		1p2e3 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
21	19, 20	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (1 − -2) = 3
22	21	fveq2i 6881	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = (abs‘3)
23		3nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	23	nn0absidi 15518	. . . . . 6 ⊢ (abs‘3) = 3
25	22, 24	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = 3
26		3nn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ ℕ)
28		eluz2 12893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
29		3re 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
31		5re 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
33		zre 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		3lt5 12445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 5)
37		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
38	30, 32, 34, 36, 37	ltletrd 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
39	38	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
40	28, 39	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 < 𝑁)
41		elfzo1 13768	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (1..^𝑁) ↔ (3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑁))
42	27, 10, 40, 41	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ (1..^𝑁))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 3 ∈ (1..^𝑁))
44	25, 43	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
45	2	mod2addne 48258	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
46	11, 12, 13, 16, 44, 45	syl131anc 1410	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
47	46	necomd 3010	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
48	9, 47	eqnetrd 3022	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ..^cfzo 13709   mod cmo 13930  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343

This theorem is used by:  pgnioedg1  49024