Theorem modm2nep1 47847

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 plus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm2nep1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm2nep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
2		modm1nep1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
3	1, 2	eleq2s 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12629	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
5		2cnd 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
6	4, 5	negsubd 11507	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
7	6	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
8	7	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
9	8	oveq1d 7374	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
10		eluz5nn 12836	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
13		1zzd 12553	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
14		2z 12554	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12630	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
17		ax-1cn 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		2cn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	17, 18	subnegi 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − -2) = (1 + 2)
20		1p2e3 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
21	19, 20	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (1 − -2) = 3
22	21	fveq2i 6833	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = (abs‘3)
23		3nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	23	nn0absidi 15388	. . . . . 6 ⊢ (abs‘3) = 3
25	22, 24	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − -2)) = 3
26		3nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ ℕ)
28		eluz2 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
29		3re 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
31		5re 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
33		zre 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		3lt5 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 5
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 5)
37		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
38	30, 32, 34, 36, 37	ltletrd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
39	38	3adant1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 3 < 𝑁)
40	28, 39	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 < 𝑁)
41		elfzo1 13662	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (1..^𝑁) ↔ (3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 3 < 𝑁))
42	27, 10, 40, 41	syl3anbrc 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 3 ∈ (1..^𝑁))
43	42	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 3 ∈ (1..^𝑁))
44	25, 43	eqeltrid 2845	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
45	2	mod2addne 47845	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
46	11, 12, 13, 16, 44, 45	syl131anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
47	46	necomd 2991	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))
48	9, 47	eqnetrd 3003	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 1) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  -cneg 11374  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ..^cfzo 13603   mod cmo 13823  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  pgnioedg1  48611