Theorem modprminv 16849

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. This is an application of prmdiv 16834. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modprminv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
modprminv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem modprminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modprminv.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
2	1	prmdiv 16834	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
3		elfzelz 13543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
6		modprm1div 16847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
7	5, 6	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
8	7	expr 461	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
9	8	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
10	9	pm5.32d 587	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1) ↔ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
11	2, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  1c1 11089   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12286  ℤcz 12582  ...cfz 13526   mod cmo 13893  ↑cexp 14088   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-phi 16815

This theorem is referenced by:  vfermltlALT  16852  powm2modprm  16853  reumodprminv  16854