Theorem modprminv 16136

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of 𝐴 mod 𝑃. This is an application of prmdiv 16122. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modprminv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
modprminv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem modprminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modprminv.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
2	1	prmdiv 16122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
3		elfzelz 12909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
4		zmulcl 12032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
6		modprm1div 16134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
7	5, 6	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
8	7	expr 459	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
9	8	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
10	9	pm5.32d 579	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1) ↔ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))))
11	2, 10	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · 𝑅) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  1c1 10538   · cmul 10542   − cmin 10870  2c2 11693  ℤcz 11982  ...cfz 12893   mod cmo 13238  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-phi 16103

This theorem is referenced by:  vfermltlALT  16139  powm2modprm  16140  reumodprminv  16141