Theorem vfermltlALT 16884

Description: Alternate proof of vfermltl 16883, not using Euler's theorem. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltlALT	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem vfermltlALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2m1e1 12380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) = 1)
3	2	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 = (2 − 1))
4	3	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = (𝑃 − (2 − 1)))
5		prmz 16755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
7		2cnd 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
8		1cnd 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subsubd 11612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
10	4, 9	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
12	11	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
13		zcn 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		prmm2nn0 16779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
17	14, 16	expp1d 14201	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
18	12, 17	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
19	18	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
20	15	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
21	20	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
22		zexpcl 14130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12716	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
25	24	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
26		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		prmnn 16754	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 13074	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
29	28	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
30		modmulmod 13990	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
32		zre 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
35	33, 34	reexpcld 14217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
36	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
37	35, 36	modcld 13926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
39	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcomd 11245	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
41	40	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
42	41	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
43	19, 31, 42	3eqtr2d 2806	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
44		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
45	44	modprminv 16881	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
46	45	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13551   mod cmo 13920  ↑cexp 14115   ∥ cdvds 16332  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-prm 16752  df-phi 16847

This theorem is used by: (None)