Theorem vfermltlALT 16773

Description: Alternate proof of vfermltl 16772, not using Euler's theorem. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltlALT	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem vfermltlALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2m1e1 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) = 1)
3	2	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 = (2 − 1))
4	3	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = (𝑃 − (2 − 1)))
5		prmz 16645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
7		2cnd 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
8		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subsubd 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
10	4, 9	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
12	11	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
13		zcn 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		prmm2nn0 16668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
17	14, 16	expp1d 14112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
18	12, 17	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
19	18	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
20	15	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
21	20	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
22		zexpcl 14041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12638	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
25	24	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
26		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		prmnn 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12993	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
29	28	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
30		modmulmod 13901	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
32		zre 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
35	33, 34	reexpcld 14128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
36	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
37	35, 36	modcld 13837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
39	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcomd 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
41	40	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
42	41	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
43	19, 31, 42	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
44		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
45	44	modprminv 16770	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
46	45	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  ...cfz 13468   mod cmo 13831  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736

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