Theorem powm2modprm 16841

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
powm2modprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem powm2modprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		m1dvdsndvds 16836	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
5	4	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
7	6	modprminv 16837	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9	8	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12		modprm1div 16835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	12	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
15	14	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
16		zre 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		prmm2nn0 16735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
19	18	anim1ci 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
21		zexpcl 14117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 16711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26	22, 25	zmodcld 13932	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 12639	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ)
28	23	nnrpd 13075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31		modmulmod 13977	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
32	17, 27, 30, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
33	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
34	33, 24	zmodcld 13932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
36	35	mullidd 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
37	36	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
39		reexpcl 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
40	16, 18, 39	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
41	40, 29	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
43		modabs2 13945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
45	38, 44	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
46	15, 32, 45	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
47	11, 46	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
48	47	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13547   mod cmo 13909  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803

This theorem is referenced by:  numclwwlk5  30407