Theorem powm2modprm 16504

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
powm2modprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem powm2modprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		m1dvdsndvds 16499	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
5	4	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
7	6	modprminv 16500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
8		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9	8	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12		modprm1div 16498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	12	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
15	14	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
16		zre 12323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		prmm2nn0 16403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
19	18	anim1ci 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
21		zexpcl 13797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 16379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26	22, 25	zmodcld 13612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 12424	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ)
28	23	nnrpd 12770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31		modmulmod 13656	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
32	17, 27, 30, 31	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
33	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
34	33, 24	zmodcld 13612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
36	35	mulid2d 10993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
37	36	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
39		reexpcl 13799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
40	16, 18, 39	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
41	40, 29	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
43		modabs2 13625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
45	38, 44	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
46	15, 32, 45	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
47	11, 46	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
48	47	ex 413	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  ...cfz 13239   mod cmo 13589  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467

This theorem is referenced by:  numclwwlk5  28752