HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1 29608
Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem norm1
StepHypRef Expression
1 normcl 29484 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
3 normne0 29489 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
43biimpar 478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ≠ 0)
52, 4rereccld 11800 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ)
65recnd 11001 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ)
7 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℋ)
8 norm-iii 29499 . . 3 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
10 normgt0 29486 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
1110biimpa 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (norm𝐴))
12 1re 10973 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
13 0le1 11496 . . . . . 6 0 ≤ 1
14 divge0 11842 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴))) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
1512, 13, 14mpanl12 699 . . . . 5 (((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
162, 11, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
175, 16absidd 15132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(1 / (norm𝐴))) = (1 / (norm𝐴)))
1817oveq1d 7292 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)))
191recnd 11001 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2120, 4recid2d 11745 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)) = 1)
229, 18, 213eqtrd 2782 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5076  cfv 6435  (class class class)co 7277  cc 10867  cr 10868  0cc0 10869  1c1 10870   · cmul 10874   < clt 11007  cle 11008   / cdiv 11630  abscabs 14943  chba 29278   · csm 29280  normcno 29282  0c0v 29283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947  ax-hv0cl 29362  ax-hfvmul 29364  ax-hvmul0 29369  ax-hfi 29438  ax-his1 29441  ax-his3 29443  ax-his4 29444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-sup 9199  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-rp 12729  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-hnorm 29327
This theorem is referenced by:  norm1exi  29609  nmlnop0iALT  30354  nmbdoplbi  30383  nmcoplbi  30387  nmbdfnlbi  30408  nmcfnlbi  30411  branmfn  30464
  Copyright terms: Public domain W3C validator