HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1 31277
Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem norm1
StepHypRef Expression
1 normcl 31153 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
3 normne0 31158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
43biimpar 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ≠ 0)
52, 4rereccld 12091 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ)
65recnd 11286 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ)
7 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℋ)
8 norm-iii 31168 . . 3 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
10 normgt0 31155 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
1110biimpa 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (norm𝐴))
12 1re 11258 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
13 0le1 11783 . . . . . 6 0 ≤ 1
14 divge0 12134 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴))) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
1512, 13, 14mpanl12 702 . . . . 5 (((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
162, 11, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
175, 16absidd 15457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(1 / (norm𝐴))) = (1 / (norm𝐴)))
1817oveq1d 7445 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)))
191recnd 11286 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2120, 4recid2d 12036 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)) = 1)
229, 18, 213eqtrd 2778 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  abscabs 15269  chba 30947   · csm 30949  normcno 30951  0c0v 30952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hv0cl 31031  ax-hfvmul 31033  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-hnorm 30996
This theorem is referenced by:  norm1exi  31278  nmlnop0iALT  32023  nmbdoplbi  32052  nmcoplbi  32056  nmbdfnlbi  32077  nmcfnlbi  32080  branmfn  32133
  Copyright terms: Public domain W3C validator