Theorem norm1 31908

Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem norm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		normne0 31789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
4	3	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ≠ 0)
5	2, 4	rereccld 12184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ ℋ)
8		norm-iii 31799	. . 3 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
10		normgt0 31786	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))
11	10	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (normℎ‘𝐴))
12		1re 11347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		0le1 11879	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
14		divge0 12226	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
15	12, 13, 14	mpanl12 715	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
16	2, 11, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
17	5, 16	absidd 15634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) = (1 / (normℎ‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = ((1 / (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘𝐴)))
19	1	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20, 4	recid2d 12129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘𝐴)) = 1)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  abscabs 15444   ℋchba 31578   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582  0_ℎc0v 31583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hv0cl 31662  ax-hfvmul 31664  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-hnorm 31627

This theorem is used by:  norm1exi  31909  nmlnop0iALT  32654  nmbdoplbi  32683  nmcoplbi  32687  nmbdfnlbi  32708  nmcfnlbi  32711  branmfn  32764