Theorem norm1 31338

Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem norm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		normne0 31219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
4	3	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ≠ 0)
5	2, 4	rereccld 11976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 𝐴 ∈ ℋ)
8		norm-iii 31229	. . 3 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
10		normgt0 31216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))
11	10	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 < (normℎ‘𝐴))
12		1re 11138	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		0le1 11667	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
14		divge0 12019	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
15	12, 13, 14	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
16	2, 11, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → 0 ≤ (1 / (normℎ‘𝐴)))
17	5, 16	absidd 15379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) = (1 / (normℎ‘𝐴)))
18	17	oveq1d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((abs‘(1 / (normℎ‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = ((1 / (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘𝐴)))
19	1	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20, 4	recid2d 11921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘𝐴)) = 1)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝐴)) ·ℎ 𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   / cdiv 11801  abscabs 15190   ℋchba 31008   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hv0cl 31092  ax-hfvmul 31094  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-hnorm 31057

This theorem is referenced by:  norm1exi  31339  nmlnop0iALT  32084  nmbdoplbi  32113  nmcoplbi  32117  nmbdfnlbi  32138  nmcfnlbi  32141  branmfn  32194