Theorem odzphi 16817

Description: The order of any group element is a divisor of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odzphi	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem odzphi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth 16803	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
2		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	2	phicld 16792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12571	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
6		zexpcl 14100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
8		1zzd 12632	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
9		moddvds 16284	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
12		odzdvds 16816	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ (ϕ‘𝑁)))
13	5, 12	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ (ϕ‘𝑁)))
14	11, 13	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ (ϕ‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11139   − cmin 11475  ℕcn 12249  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597   mod cmo 13892  ↑cexp 14085   ∥ cdvds 16273   gcd cgcd 16514  od_ℤcodz 16783  ϕcphi 16784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-oadd 8493  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-dvds 16274  df-gcd 16515  df-odz 16785  df-phi 16786

This theorem is referenced by:  pockthlem  16926  fmtnoprmfac1  47498