Theorem prjspnerlem 43074

Description: A lemma showing that the equivalence relation used in prjspnval2 43075 and the equivalence relation used in prjspval 43060 are equal, but only with the antecedent 𝐾 ∈ DivRing. (Contributed by SN, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnerlem.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnerlem.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnerlem.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnerlem.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnerlem.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
prjspnerlem	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦   𝑊,𝑙   𝑆,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦,𝑙)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prjspnerlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnerlem.e	. 2 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2		prjspnerlem.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
3		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
4		prjspnerlem.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
5	4	frlmsca 21735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
6	3, 5	mpan2 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7	6	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	2, 7	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	8	rexeqdv 3299	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦)))
10	9	anbi2d 636	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11	10	opabbidv 5145	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
12	1, 11	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  {csn 4562  {copab 5141  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ...cfz 13459  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  DivRingcdr 20708   freeLMod cfrlm 21728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prds 17408  df-pws 17410  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729

This theorem is referenced by:  prjspnval2  43075  prjspner  43076  prjspnvs  43077