Theorem frlmsca 20589

Description: The ring of scalars of a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmsca	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Proof of Theorem frlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6506	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
3		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	pwssca 16615	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5	1, 4	mpan 677	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
6	5	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
7		fvex 6506	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) ∈ V
8		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
9		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10	8, 9	resssca 16496	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ V → (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
12	6, 11	syl6eq 2824	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
13		rlmsca 19684	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		frlmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
16		eqid 2772	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
17	15, 16	frlmpws 20586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
18	17	fveq2d 6497	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2818	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  Vcvv 3409  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329   ↾_s cress 16330  Scalarcsca 16414   ↑_s cpws 16566  ringLModcrglmod 19653   freeLMod cfrlm 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-hom 16435  df-cco 16436  df-prds 16567  df-pws 16569  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-dsmm 20568  df-frlm 20583

This theorem is referenced by:  frlmlvec  20597  frlmvscavalb  20606  frlmvplusgscavalb  20607  frlmphl  20617  uvcresum  20629  frlmssuvc1  20630  frlmssuvc2  20631  frlmsslsp  20632  frlmlbs  20633  frlmup1  20634  frlmisfrlm  20684  matsca2  20723  rrxcph  23688  lindsdom  34275  lindsenlbs  34276  matunitlindflem1  34277  matunitlindflem2  34278  frlmsnic  38531  prjspnval2  38619  0prjspn  38622  zlmodzxzlmod  43706  aacllem  44209