Theorem frlmsca 21643

Description: The ring of scalars of a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmsca	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Proof of Theorem frlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6897	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	pwssca 17448	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5	1, 4	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
7		fvex 6897	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) ∈ V
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))
9		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10	8, 9	resssca 17294	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐹) ∈ V → (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Scalar‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
12	6, 11	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
13		rlmsca 21051	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		frlmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
17	15, 16	frlmpws 21640	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹)))
18	17	fveq2d 6888	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘𝐹))))
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  Scalarcsca 17206   ↑_s cpws 17398  ringLModcrglmod 21017   freeLMod cfrlm 21636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-prds 17399  df-pws 17401  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637

This theorem is referenced by:  frlmlvec  21651  frlmvscavalb  21660  frlmvplusgscavalb  21661  frlmphl  21671  uvcresum  21683  frlmssuvc1  21684  frlmssuvc2  21685  frlmsslsp  21686  frlmlbs  21687  frlmup1  21688  frlmisfrlm  21738  matsca2  22272  rrxcph  25270  lindsdom  36994  lindsenlbs  36995  matunitlindflem1  36996  matunitlindflem2  36997  frlmsnic  41649  prjspnerlem  41919  prjspnvs  41922  prjspner1  41928  0prjspn  41930  mnringscad  43539  mnringscadOLD  43540  mnringlmodd  43543  zlmodzxzlmod  47288  aacllem  48104