Theorem prjspnval2 43755

Description: Value of the n-dimensional projective space function, expanded. (Contributed by SN, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnval2.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnval2.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnval2.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnval2.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnval2.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnval2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
prjspnval2	⊢ (𝜑 → (𝑁 ℙrojn 𝐾) = (𝐵 / ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑆,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦)   · (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjspnval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnval2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		prjspnval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
3		prjspnval 43753	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ DivRing) → (𝑁 ℙrojn 𝐾) = (ℙroj‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ℙrojn 𝐾) = (ℙroj‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
5		prjspnval2.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6	5	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (ℙroj‘𝑊) = (ℙroj‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁)))
7		ovex 7457	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
8	5	frlmlvec 22076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
9	7, 8	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
10		prjspnval2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
11		prjspnval2.x	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	10, 11, 12, 13	prjspval 43740	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (ℙroj‘𝑊) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
15	9, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (ℙroj‘𝑊) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
16		prjspnval2.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
17		prjspnval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
18	16, 5, 10, 17, 11	prjspnerlem 43754	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
19	18	qseq2d 8788	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / ∼ ) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
20	15, 19	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (ℙroj‘𝑊) = (𝐵 / ∼ ))
21	2, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℙroj‘𝑊) = (𝐵 / ∼ ))
22	6, 21	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℙroj‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) = (𝐵 / ∼ ))
23	4, 22	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ℙrojn 𝐾) = (𝐵 / ∼ ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044  {csn 4584  {copab 5166  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   / cqs 8723  0cc0 11207  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  0_gc0g 17619  DivRingcdr 20989  LVecclvec 21386   freeLMod cfrlm 22061  ℙrojcprjsp 43738   ℙroj_n cprjspn 43751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-subrg 20831  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lvec 21387  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-prjsp 43739  df-prjspn 43752

This theorem is used by:  prjspnssbas  43758  prjspnn0  43760  0prjspn  43773