Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspnval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspnval2 39422
 Description: Value of the n-dimensional projective space function, expanded. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspnval2.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnval2.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnval2.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspnval2.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnval2.x · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
prjspnval2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑙,𝑦,𝑊   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑆,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦,𝑙)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑙)

Proof of Theorem prjspnval2
StepHypRef Expression
1 prjspnval 39421 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (ℙ𝕣𝕠𝕛‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))))
2 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → 𝐾 ∈ DivRing)
3 ovexd 7165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (0...𝑁) ∈ V)
4 prjspnval2.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
54frlmlvec 20881 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
62, 3, 5syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → 𝑊 ∈ LVec)
7 prjspnval2.b . . . . . 6 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
8 prjspnval2.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2821 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
117, 8, 9, 10prjspval 39408 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑊) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
126, 11syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑊) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
13 prjspnval2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝐾)
144frlmsca 20873 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
152, 3, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1615fveq2d 6647 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1713, 16syl5req 2869 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = 𝑆)
1817rexeqdv 3397 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)))
1918anbi2d 631 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
2019opabbidv 5105 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
2120qseq2d 8321 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
2212, 21eqtrd 2856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑊) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}))
234eqcomi 2830 . . . 4 (𝐾 freeLMod (0...𝑁)) = 𝑊
2423fveq2i 6646 . . 3 (ℙ𝕣𝕠𝕛‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) = (ℙ𝕣𝕠𝕛‘𝑊)
25 prjspnval2.e . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2625qseq2i 8320 . . 3 (𝐵 / ) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
2722, 24, 263eqtr4g 2881 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (ℙ𝕣𝕠𝕛‘(𝐾 freeLMod (0...𝑁))) = (𝐵 / ))
281, 27eqtrd 2856 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (𝑁ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127  Vcvv 3471   ∖ cdif 3907  {csn 4540  {copab 5101  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   / cqs 8263  0cc0 10514  ℕ0cn0 11875  ...cfz 12875  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  DivRingcdr 19478  LVecclvec 19850   freeLMod cfrlm 20866  ℙ𝕣𝕠𝕛cprjsp 39406  ℙ𝕣𝕠𝕛ncprjspn 39419 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ec 8266  df-qs 8270  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-drng 19480  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lvec 19851  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-prjsp 39407  df-prjspn 39420 This theorem is referenced by:  0prjspn  39425
 Copyright terms: Public domain W3C validator