Theorem prmidlc 33426

Description: Property of a prime ideal in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidlc	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1195	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
2		simpr2 1196	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝐵)
3		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	isprmidlc 33425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
6	5	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7	6	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
9		simpr3 1197	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
10		oveq12 7399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 · 𝑏) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑎 = 𝐼)
13	12	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ 𝑃))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑏 = 𝐽)
15	14	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝐽 ∈ 𝑃))
16	13, 15	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃)))
17	11, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
18	17	rspc2gv 3601	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
19	18	imp31 417	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))
20	1, 2, 8, 9, 19	syl1111anc 840	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  CRingccrg 20150  LIdealclidl 21123  PrmIdealcprmidl 33413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-prmidl 33414

This theorem is referenced by:  rhmpreimaprmidl  33429  rsprprmprmidlb  33501  rprmirredb  33510  dfufd2lem  33527