Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidlc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidlc 32269
Description: Property of a prime ideal in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprmidlc.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isprmidlc.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
prmidlc (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
2 simpr2 1196 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ 𝐽 ∈ 𝐡)
3 isprmidlc.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 isprmidlc.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
53, 4isprmidlc 32268 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
65biimpa 478 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑃 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑃 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
76simp3d 1145 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
87adantr 482 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
9 simpr3 1197 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)
10 oveq12 7367 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝐼 Β· 𝐽))
1110eleq1d 2819 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃))
12 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ π‘Ž = 𝐼)
1312eleq1d 2819 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ 𝑃))
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ 𝑏 = 𝐽)
1514eleq1d 2819 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝐽 ∈ 𝑃))
1613, 15orbi12d 918 . . . . 5 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃)))
1711, 16imbi12d 345 . . . 4 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) β†’ (((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃 β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
1817rspc2gv 3588 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃 β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
1918imp31 419 . 2 ((((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž Β· 𝑏) ∈ 𝑃 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))
201, 2, 8, 9, 19syl1111anc 839 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝐽 ∈ 𝐡 ∧ (𝐼 Β· 𝐽) ∈ 𝑃)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  CRingccrg 19970  LIdealclidl 20647  PrmIdealcprmidl 32255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cmn 19569  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-prmidl 32256
This theorem is referenced by:  rhmpreimaprmidl  32272
  Copyright terms: Public domain W3C validator