Theorem prmidlc 33508

Description: Property of a prime ideal in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prmidlc	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlc

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1196	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
2		simpr2 1197	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝐵)
3		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	isprmidlc 33507	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
6	5	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7	6	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
9		simpr3 1198	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
10		oveq12 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 · 𝑏) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑎 = 𝐼)
13	12	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ 𝑃))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → 𝑏 = 𝐽)
15	14	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝐽 ∈ 𝑃))
16	13, 15	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃)))
17	11, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐽) → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
18	17	rspc2gv 3574	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))))
19	18	imp31 417	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))) ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))
20	1, 2, 8, 9, 19	syl1111anc 841	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝑃 ∨ 𝐽 ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  CRingccrg 20215  LIdealclidl 21204  PrmIdealcprmidl 33495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-prmidl 33496

This theorem is referenced by:  rhmpreimaprmidl  33511  rsprprmprmidlb  33583  rprmirredb  33592  dfufd2lem  33609