Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmidlc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmidlc 31149
 Description: Property of a prime ideal in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprmidlc.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
prmidlc (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼𝑃𝐽𝑃))

Proof of Theorem prmidlc
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐼𝐵)
2 simpr2 1192 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽𝐵)
3 isprmidlc.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 isprmidlc.2 . . . . . 6 · = (.r𝑅)
53, 4isprmidlc 31148 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))))
65biimpa 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃))))
76simp3d 1141 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))
87adantr 484 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)))
9 simpr3 1193 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
10 oveq12 7164 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → (𝑎 · 𝑏) = (𝐼 · 𝐽))
1110eleq1d 2836 . . . . 5 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
12 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → 𝑎 = 𝐼)
1312eleq1d 2836 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → (𝑎𝑃𝐼𝑃))
14 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → 𝑏 = 𝐽)
1514eleq1d 2836 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → (𝑏𝑃𝐽𝑃))
1613, 15orbi12d 916 . . . . 5 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → ((𝑎𝑃𝑏𝑃) ↔ (𝐼𝑃𝐽𝑃)))
1711, 16imbi12d 348 . . . 4 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐽) → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)) ↔ ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼𝑃𝐽𝑃))))
1817rspc2gv 3552 . . 3 ((𝐼𝐵𝐽𝐵) → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → (𝐼𝑃𝐽𝑃))))
1918imp31 421 . 2 ((((𝐼𝐵𝐽𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎𝑃𝑏𝑃))) ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃) → (𝐼𝑃𝐽𝑃))
201, 2, 8, 9, 19syl1111anc 838 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼𝐵𝐽𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → (𝐼𝑃𝐽𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  .rcmulr 16629  CRingccrg 19371  LIdealclidl 20015  PrmIdealcprmidl 31135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-cmn 18980  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-lidl 20019  df-rsp 20020  df-prmidl 31136 This theorem is referenced by:  rhmpreimaprmidl  31152
 Copyright terms: Public domain W3C validator