Theorem prmidlsubm 21466

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. Converse of ssdifidlprm 21465. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlsubm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlsubm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
prmidlsubm	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem prmidlsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlsubm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20326	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20320	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		difss 4089	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵)
9		prmidlsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20347	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
13		prmidlsubm.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlidl 21448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	3, 13, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 16	prmidlnr 21443	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
18	3, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
19	9, 10	pridln1 21447	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
20	3, 15, 18, 19	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
21	12, 20	eldifd 3915	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
22	3	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
24	23	eldifad 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
26	25	eldifad 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	9, 16, 22, 24, 26	ringcld 20341	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
28	23	eldifbd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑃)
29	25	eldifbd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑃)
30	28, 29	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
31		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
33	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
35	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
38	9, 16, 33, 34, 35, 36, 37	prmidlprop 21455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
39	32, 38	mtand 827	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
40	27, 39	eldifd 3915	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
41	40	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
42	41	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
43	4, 9	mgpbas 20220	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
44	4, 10	ringidval 20264	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
45	4, 16	mgpplusg 20219	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
46	43, 44, 45	issubm 18860	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))))
47	46	biimpar 482	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
48	6, 8, 21, 42, 47	syl13anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Mndcmnd 18791  SubMndcsubmnd 18839  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  LIdealclidl 21309  PrmIdealcprmidl 21439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-prmidl 21440

This theorem is referenced by: (None)