Theorem prmidlsubm 21447

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. Converse of ssdifidlprm 21446. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlsubm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlsubm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
prmidlsubm	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem prmidlsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlsubm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20318	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20312	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		difss 4092	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵)
9		prmidlsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20339	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
13		prmidlsubm.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlidl 21431	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	3, 13, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 16	prmidlnr 21426	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
18	3, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
19	9, 10	pridln1 21430	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
20	3, 15, 18, 19	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
21	12, 20	eldifd 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
22	3	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
24	23	eldifad 3919	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
26	25	eldifad 3919	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	9, 16, 22, 24, 26	ringcld 20333	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
28	23	eldifbd 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑃)
29	25	eldifbd 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑃)
30	28, 29	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
31		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
33	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
35	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
38	9, 16, 33, 34, 35, 36, 37	prmidlprop 21436	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
39	32, 38	mtand 827	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
40	27, 39	eldifd 3918	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
41	40	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
42	41	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
43	4, 9	mgpbas 20212	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
44	4, 10	ringidval 20256	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
45	4, 16	mgpplusg 20211	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
46	43, 44, 45	issubm 18851	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))))
47	46	biimpar 482	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
48	6, 8, 21, 42, 47	syl13anc 1395	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Mndcmnd 18782  SubMndcsubmnd 18830  mulGrpcmgp 20207  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307  LIdealclidl 21299  PrmIdealcprmidl 21422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-prmidl 21423

This theorem is referenced by: (None)