Theorem prmidlsubm 21496

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. Converse of ssdifidlprm 21495. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlsubm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlsubm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
prmidlsubm	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem prmidlsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlsubm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20331	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		difss 4090	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵)
9		prmidlsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20353	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
13		prmidlsubm.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlidl 21478	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	3, 13, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 16	prmidlnr 21473	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
18	3, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
19	9, 10	pridln1 21477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
20	3, 15, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
21	12, 20	eldifd 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
22	3	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
24	23	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
26	25	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	9, 16, 22, 24, 26	ringcld 20343	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
28	23	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑃)
29	25	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑃)
30	28, 29	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
31		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
33	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
35	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
38	9, 16, 33, 34, 35, 36, 37	prmidlprop 21485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
39	32, 38	mtand 827	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
40	27, 39	eldifd 3916	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
41	40	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
42	41	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
43	4, 9	mgpbas 20225	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
44	4, 10	ringidval 20269	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
45	4, 16	mgpplusg 20224	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
46	43, 44, 45	issubm 18865	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))))
47	46	biimpar 482	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
48	6, 8, 21, 42, 47	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315  Mndcmnd 18796  SubMndcsubmnd 18844  mulGrpcmgp 20220  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320  LIdealclidl 21339  PrmIdealcprmidl 21469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-rsp 21342  df-prmidl 21470

This theorem is used by: (None)