Theorem prmidlsubm 33600

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. Converse of ssdifidlprm 33599. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlsubm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlsubm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
prmidlsubm	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem prmidlsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlsubm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20267	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20261	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		difss 4084	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵)
9		prmidlsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20287	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
13		prmidlsubm.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlidl 33584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	3, 13, 14	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 16	prmidlnr 33579	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
18	3, 13, 17	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
19	9, 10	pridln1 33583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
20	3, 15, 18, 19	syl3anc 1386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
21	12, 20	eldifd 3910	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
22	3	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
24	23	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
26	25	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	9, 16, 22, 24, 26	ringcld 20282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
28	23	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑃)
29	25	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑃)
30	28, 29	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
31		ioran 994	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
32	30, 31	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
33	1	ad3antrrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	ad3antrrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
35	24	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
38	9, 16, 33, 34, 35, 36, 37	prmidlprop 33589	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
39	32, 38	mtand 823	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
40	27, 39	eldifd 3910	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
41	40	anasss 469	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
42	41	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
43	4, 9	mgpbas 20167	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
44	4, 10	ringidval 20205	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
45	4, 16	mgpplusg 20166	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
46	43, 44, 45	issubm 18813	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))))
47	46	biimpar 480	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
48	6, 8, 21, 42, 47	syl13anc 1387	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  Mndcmnd 18744  SubMndcsubmnd 18792  mulGrpcmgp 20162  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256  LIdealclidl 21249  PrmIdealcprmidl 33575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-lidl 21251  df-rsp 21252  df-prmidl 33576

This theorem is referenced by: (None)