Theorem prmidlsubm 21673

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. Converse of ssdifidlprm 21672. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlsubm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlsubm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
prmidlsubm	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem prmidlsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlsubm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20502	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20495	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		difss 4075	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵)
9		prmidlsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	9, 10	ringidcl 20524	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
13		prmidlsubm.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlidl 21655	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	3, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	9, 16	prmidlnr 21650	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
18	3, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
19	9, 10	pridln1 21654	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
20	3, 15, 18, 19	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑃)
21	12, 20	eldifd 4053	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
22	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
24	23	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
26	25	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	9, 16, 22, 24, 26	ringcld 20514	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
28	23	eldifbd 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑃)
29	25	eldifbd 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑃)
30	28, 29	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
31		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑃))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
33	1	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
35	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
38	9, 16, 33, 34, 35, 36, 37	prmidlprop 21662	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
39	32, 38	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
40	27, 39	eldifd 4053	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
41	40	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
42	41	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))
43	4, 9	mgpbas 20395	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
44	4, 10	ringidval 20439	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
45	4, 16	mgpplusg 20394	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
46	43, 44, 45	issubm 19027	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ↔ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))))
47	46	biimpar 483	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝐵 ∖ 𝑃) ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
48	6, 8, 21, 42, 47	syl13anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑃) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Mndcmnd 18952  SubMndcsubmnd 19006  mulGrpcmgp 20390  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  LIdealclidl 21514  PrmIdealcprmidl 21646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-prmidl 21647

This theorem is used by: (None)