Theorem prmonn2 17095

Description: Value of the primorial function expressed recursively. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmonn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem prmonn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 11635	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = (#p‘((𝑁 − 1) + 1)))
6		nnm1nn0 12541	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7		prmop1 17094	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (#p‘((𝑁 − 1) + 1)) = if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘((𝑁 − 1) + 1)) = if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))))
9	3	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
10	3	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)) = ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11	9, 10	ifbieq1d 4514	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))
12	5, 8, 11	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4489  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℙcprime 16725  #_pcprmo 17087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-prmo 17088

This theorem is referenced by:  prmo2  17096  prmo3  17097  prmo4  17184  prmo5  17185  prmo6  17186  ex-prmo  30747