Theorem prmonn2 16976

Description: Value of the primorial function expressed recursively. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmonn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem prmonn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12224	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		npcan1 11643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	4	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = (#p‘((𝑁 − 1) + 1)))
6		nnm1nn0 12517	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7		prmop1 16975	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (#p‘((𝑁 − 1) + 1)) = if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘((𝑁 − 1) + 1)) = if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))))
9	3	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
10	3	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)) = ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11	9, 10	ifbieq1d 4552	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(((𝑁 − 1) + 1) ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)), (#p‘(𝑁 − 1))) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))
12	5, 8, 11	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, ((#p‘(𝑁 − 1)) · 𝑁), (#p‘(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℙcprime 16612  #_pcprmo 16968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-prmo 16969

This theorem is referenced by:  prmo2  16977  prmo3  16978  prmo4  17065  prmo5  17066  prmo6  17067  ex-prmo  29967