MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrgrp 21736
Description: The ring of power series is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
psrgrp (𝜑𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem psrgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrgrp.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2 ovex 7444 . . . 4 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
32rabex 5332 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4 eqid 2732 . . . 4 (𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
54pwsgrp 18971 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → (𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Grp)
61, 3, 5sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Grp)
7 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
84, 7pwsbas 17437 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
91, 3, 8sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
10 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11 eqid 2732 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13 psrgrp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
1410, 7, 11, 12, 13psrbas 21716 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
1514eqcomd 2738 . . 3 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘𝑆))
16 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
171adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑅 ∈ Grp)
183a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
199eleq2d 2819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
2019biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
2120adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
229eleq2d 2819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
2322biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
2423adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
25 eqid 2732 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
26 eqid 2732 . . . . 5 (+g‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (+g‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
274, 16, 17, 18, 21, 24, 25, 26pwsplusgval 17440 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
28 eqid 2732 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
2914eleq2d 2819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
3029biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
3130adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
3214eleq2d 2819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
3332biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
3433adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
3510, 12, 25, 28, 31, 34psradd 21720 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g𝑆)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
3627, 35eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
379, 15, 36grppropd 18873 . 2 (𝜑 → ((𝑅s {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Grp ↔ 𝑆 ∈ Grp))
386, 37mpbid 231 1 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  ccnv 5675  cima 5679  cfv 6543  (class class class)co 7411  f cof 7670  m cmap 8822  Fincfn 8941  cn 12216  0cn0 12476  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  s cpws 17396  Grpcgrp 18855   mPwSer cmps 21676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-psr 21681
This theorem is referenced by:  psr0  21738  psrneg  21739  psrlmod  21740  psrring  21750  mplsubglem  21777
  Copyright terms: Public domain W3C validator