Theorem psrgrp 20178

Description: The ring of power series is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
psrgrp	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem psrgrp

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑟 𝑡 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
3		psrgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
6		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
8		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
9		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	psraddcl 20163	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
11		ovex 7189	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
12	11	rabex 5235	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		simpr1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
17	3, 14, 15, 4, 16	psrelbas 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
18		simpr2 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
19	3, 14, 15, 4, 18	psrelbas 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20		simpr3 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
21	3, 14, 15, 4, 20	psrelbas 20159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
22	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Grp)
23		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
24	14, 23	grpass 18112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
25	22, 24	sylan 582	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑟(+g‘𝑅)𝑠)(+g‘𝑅)𝑡) = (𝑟(+g‘𝑅)(𝑠(+g‘𝑅)𝑡)))
26	13, 17, 19, 21, 25	caofass 7443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
27	3, 4, 23, 5, 16, 18	psradd 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
28	27	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
29	3, 4, 23, 5, 18, 20	psradd 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
30	29	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
31	26, 28, 30	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
32	10	3adant3r3 1180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
33	3, 4, 23, 5, 32, 20	psradd 20162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
34	3, 4, 5, 22, 18, 20	psraddcl 20163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(+g‘𝑆)𝑧) ∈ (Base‘𝑆))
35	3, 4, 23, 5, 16, 34	psradd 20162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g‘𝑆)𝑦)(+g‘𝑆)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑆)(𝑦(+g‘𝑆)𝑧)))
37		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
38		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39	3, 37, 6, 15, 38, 4	psr0cl 20174	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) ∈ (Base‘𝑆))
40	37	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
41	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
42		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
43	3, 40, 41, 15, 38, 4, 5, 42	psr0lid 20175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝑆)𝑥) = 𝑥)
44		eqid 2821	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
45	3, 40, 41, 15, 44, 4, 42	psrnegcl 20176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
46	3, 40, 41, 15, 44, 4, 42, 38, 5	psrlinv 20177	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑥)(+g‘𝑆)𝑥) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
47	1, 2, 10, 36, 39, 43, 45, 46	isgrpd 18125	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142  Vcvv 3494  {csn 4567   × cxp 5553  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558   ∘ ccom 5559  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  inv_gcminusg 18104   mPwSer cmps 20131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-psr 20136

This theorem is referenced by:  psr0  20179  psrneg  20180  psrlmod  20181  psrring  20191  mplsubglem  20214