Theorem qusmgm 18893

Description: Prove that a quotient structure is a unital magma. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmgm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusmgm.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusmgm.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
qusmgm.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusmgm.x	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
qusmgm.e	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
qusmgm.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
qusmgm.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
qusmgm.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) ∼ 𝑥)
qusmgm.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 0 ) ∼ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
qusmgm	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Mgm ∧ [ 0 ] ∼ = (0g‘𝑈)))

Distinct variable groups:   + ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   0 ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑞   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   0 (𝑦)

Proof of Theorem qusmgm

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmgm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusmgm.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )
4		qusmgm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
5		fvex 6921	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
6	2, 5	eqeltrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		erex 8770	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
8	4, 6, 7	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
9		qusmgm.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
10	1, 2, 3, 8, 9	qusval 17743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ) “s 𝑅))
11		qusmgm.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12	1, 2, 3, 8, 9	quslem 17744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ ):𝑉⟶onto(𝑉 / ∼ ))
13		qusmgm.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
14	13	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
15		qusmgm.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) ∼ (𝑝 + 𝑞)))
16	4, 6, 3, 14, 15	ercpbl 17750	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑎) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑝) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑏) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑞)) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑝 + 𝑞))))
17		qusmgm.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
18	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∼ Er 𝑉)
19		qusmgm.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) ∼ 𝑥)
20	18, 19	erthi 8802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → [( 0 + 𝑥)] ∼ = [𝑥] ∼ )
21	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ V)
22	18, 21, 3	divsfval 17748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘( 0 + 𝑥)) = [( 0 + 𝑥)] ∼ )
23	18, 21, 3	divsfval 17748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑥) = [𝑥] ∼ )
24	20, 22, 23	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘( 0 + 𝑥)) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑥))
25		qusmgm.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 0 ) ∼ 𝑥)
26	18, 25	erthi 8802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → [(𝑥 + 0 )] ∼ = [𝑥] ∼ )
27	18, 21, 3	divsfval 17748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑥 + 0 )) = [(𝑥 + 0 )] ∼ )
28	26, 27, 23	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘(𝑥 + 0 )) = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘𝑥))
29	10, 2, 11, 12, 16, 9, 13, 17, 24, 28	imasmgm2 18892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Mgm ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))
30	4, 6, 3	divsfval 17748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 0 ) = [ 0 ] ∼ )
31	30	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [ 0 ] ∼ = ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 0 ))
32	31	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([ 0 ] ∼ = (0g‘𝑈) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))
33	32	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ Mgm ∧ [ 0 ] ∼ = (0g‘𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Mgm ∧ ((𝑢 ∈ 𝑉 ↦ [𝑢] ∼ )‘ 0 ) = (0g‘𝑈))))
34	29, 33	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Mgm ∧ [ 0 ] ∼ = (0g‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639   /_s cqus 17706  Mgmcmgm 18843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-0g 17641  df-imas 17709  df-qus 17710  df-mgm 18845

This theorem is used by:  angmgmlem  29425