MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csschl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csschl 24128
Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C (df-ch 29156) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
csschl.c (Scalar‘𝑊) = ℂfld
Assertion
Ref Expression
csschl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Proof of Theorem csschl
StepHypRef Expression
1 cphnvc 23928 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
3 csschl.c . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = ℂfld
4 cncms 24107 . . . . . 6 fld ∈ CMetSp
5 eleq1 2820 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ ℂfld ∈ CMetSp))
64, 5mpbiri 261 . . . . 5 ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
73, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8 simp2 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈𝑆)
9 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
10 cssbn.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
11 cssbn.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12 cssbn.d . . . . 5 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
1310, 11, 12cssbn 24127 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
142, 7, 8, 9, 13syl31anc 1374 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
1510, 11cphssphl 24123 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)
1614, 15syld3an3 1410 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂHil)
17 eqid 2738 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1810, 17resssca 16753 . . . 4 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
193, 18syl5reqr 2788 . . 3 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
20193ad2ant2 1135 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
2116, 20jca 515 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   × cxp 5523  dom cdm 5525  cres 5527  cfv 6339  (class class class)co 7170  s cress 16587  Scalarcsca 16671  distcds 16677  LSubSpclss 19822  MetOpencmopn 20207  fldccnfld 20217  𝑡clm 21977  NrmVeccnvc 23334  ℂPreHilccph 23918  Cauccau 24005  CMetSpccms 24084  Bancbn 24085  ℂHilchl 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lmhm 19913  df-lvec 19994  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-phl 20442  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-fcls 22692  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-nm 23335  df-ngp 23336  df-nlm 23339  df-nvc 23340  df-cncf 23630  df-cph 23920  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-cms 24087  df-bn 24088  df-hl 24089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator