MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csschl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem csschl 25126
Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition Cβ„‹ (df-ch 30739) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
cssbn.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
csschl.c (Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld
Assertion
Ref Expression
csschl ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (𝑋 ∈ β„‚Hil ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = β„‚fld))
Proof of Theorem csschl
StepHypRef Expression
1 cphnvc 24926 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
213ad2ant1 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
3 csschl.c . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld
4 cncms 25105 . . . . . 6 β„‚fld ∈ CMetSp
5 eleq1 2819 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ↔ β„‚fld ∈ CMetSp))
64, 5mpbiri 257 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
73, 6mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
8 simp2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 simp3 1136 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
10 cssbn.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
11 cssbn.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
12 cssbn.d . . . . 5 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
1310, 11, 12cssbn 25125 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
142, 7, 8, 9, 13syl31anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
1510, 11cphssphl 25121 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) β†’ 𝑋 ∈ β„‚Hil)
1614, 15syld3an3 1407 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚Hil)
17 eqid 2730 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1810, 17resssca 17294 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1918, 3eqtr3di 2785 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = β„‚fld)
20193ad2ant2 1132 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = β„‚fld)
2116, 20jca 510 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (𝑋 ∈ β„‚Hil ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = β„‚fld))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   β†Ύs cress 17179  Scalarcsca 17206  distcds 17212  LSubSpclss 20688  MetOpencmopn 21136  β„‚fldccnfld 21146  β‡π‘‘clm 22952  NrmVeccnvc 24312  β„‚PreHilccph 24916  Cauccau 25003  CMetSpccms 25082  Bancbn 25083  β„‚Hilchl 25084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lmhm 20779  df-lvec 20860  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-phl 21400  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-lm 22955  df-haus 23041  df-cmp 23113  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-fcls 23667  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-nm 24313  df-ngp 24314  df-nlm 24317  df-nvc 24318  df-cncf 24620  df-cph 24918  df-cfil 25005  df-cau 25006  df-cmet 25007  df-cms 25085  df-bn 25086  df-hl 25087
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator