Theorem csschl 25362

Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C_ℋ (df-ch 31311) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
csschl.c	⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld

Assertion

Ref	Expression
csschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Proof of Theorem csschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnvc 25162	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
2	1	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
3		csschl.c	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
4		cncms 25341	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
5		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ ℂfld ∈ CMetSp))
6	4, 5	mpbiri 259	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
7	3, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simp3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
10		cssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11		cssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		cssbn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
13	10, 11, 12	cssbn 25361	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
14	2, 7, 8, 9, 13	syl31anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
15	10, 11	cphssphl 25357	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)
16	14, 15	syld3an3 1417	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂHil)
17		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	10, 17	resssca 17298	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
19	18, 3	eqtr3di 2789	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
20	19	3ad2ant2 1140	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
21	16, 20	jca 516	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5617  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↾_s cress 17192  Scalarcsca 17215  distcds 17221  LSubSpclss 20922  MetOpencmopn 21338  ℂ_fldccnfld 21348  ⇝_𝑡clm 23210  NrmVeccnvc 24565  ℂPreHilccph 25152  Cauccau 25239  CMetSpccms 25318  Bancbn 25319  ℂHilchl 25320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-lmhm 21013  df-lvec 21094  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-phl 21602  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-lm 23213  df-haus 23299  df-cmp 23371  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-fcls 23925  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-nm 24566  df-ngp 24567  df-nlm 24570  df-nvc 24571  df-cncf 24864  df-cph 25154  df-cfil 25241  df-cau 25242  df-cmet 25243  df-cms 25321  df-bn 25322  df-hl 25323

This theorem is referenced by: (None)