Theorem csschl 25544

Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C_ℋ (df-ch 31582) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
csschl.c	⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld

Assertion

Ref	Expression
csschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Proof of Theorem csschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnvc 25344	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
3		csschl.c	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
4		cncms 25523	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
5		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ ℂfld ∈ CMetSp))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
7	3, 6	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
10		cssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11		cssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		cssbn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
13	10, 11, 12	cssbn 25543	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
14	2, 7, 8, 9, 13	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
15	10, 11	cphssphl 25539	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)
16	14, 15	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂHil)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	10, 17	resssca 17400	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
19	18, 3	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
20	19	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
21	16, 20	jca 520	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_s cress 17294  Scalarcsca 17317  distcds 17323  LSubSpclss 21061  MetOpencmopn 21521  ℂ_fldccnfld 21531  ⇝_𝑡clm 23392  NrmVeccnvc 24747  ℂPreHilccph 25334  Cauccau 25421  CMetSpccms 25500  Bancbn 25501  ℂHilchl 25502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lmhm 21152  df-lvec 21233  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-phl 21785  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-lm 23395  df-haus 23481  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-fcls 24107  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-nm 24748  df-ngp 24749  df-nlm 24752  df-nvc 24753  df-cncf 25046  df-cph 25336  df-cfil 25423  df-cau 25424  df-cmet 25425  df-cms 25503  df-bn 25504  df-hl 25505

This theorem is used by: (None)