Theorem csschl 25439

Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C_ℋ (df-ch 31425) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
csschl.c	⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld

Assertion

Ref	Expression
csschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Proof of Theorem csschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnvc 25239	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
2	1	3ad2ant1 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
3		csschl.c	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
4		cncms 25418	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
5		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ ℂfld ∈ CMetSp))
6	4, 5	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
7	3, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8		simp2 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simp3 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
10		cssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11		cssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		cssbn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
13	10, 11, 12	cssbn 25438	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
14	2, 7, 8, 9, 13	syl31anc 1393	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
15	10, 11	cphssphl 25434	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)
16	14, 15	syld3an3 1429	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂHil)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	10, 17	resssca 17373	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
19	18, 3	eqtr3di 2813	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
20	19	3ad2ant2 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
21	16, 20	jca 519	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5646  dom cdm 5648   ↾ cres 5650  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ↾_s cress 17267  Scalarcsca 17290  distcds 17296  LSubSpclss 20999  MetOpencmopn 21415  ℂ_fldccnfld 21425  ⇝_𝑡clm 23287  NrmVeccnvc 24642  ℂPreHilccph 25229  Cauccau 25316  CMetSpccms 25395  Bancbn 25396  ℂHilchl 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cc 10393  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-omul 8443  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-subrg 20621  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lmhm 21090  df-lvec 21171  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-cnfld 21426  df-phl 21679  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cld 23080  df-ntr 23081  df-cls 23082  df-nei 23159  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-lm 23290  df-haus 23376  df-cmp 23448  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-fil 23907  df-fm 23999  df-flim 24000  df-flf 24001  df-fcls 24002  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-nm 24643  df-ngp 24644  df-nlm 24647  df-nvc 24648  df-cncf 24941  df-cph 25231  df-cfil 25318  df-cau 25319  df-cmet 25320  df-cms 25398  df-bn 25399  df-hl 25400

This theorem is referenced by: (None)