Theorem csschl 24128

Description: A complete subspace of a complex pre-Hilbert space is a complex Hilbert space. Remarks: (a) In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C_ℋ (df-ch 29156) of closed subspaces of a Hilbert space. (b) This theorem does not hold for arbitrary subcomplex (pre-)Hilbert spaces, because the scalar field as restriction of the field of the complex numbers need not be closed. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
csschl.c	⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld

Assertion

Ref	Expression
csschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Proof of Theorem csschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnvc 23928	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
3		csschl.c	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
4		cncms 24107	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
5		eleq1 2820	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ ℂfld ∈ CMetSp))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) = ℂfld → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
7	3, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
10		cssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11		cssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		cssbn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
13	10, 11, 12	cssbn 24127	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
14	2, 7, 8, 9, 13	syl31anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
15	10, 11	cphssphl 24123	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)
16	14, 15	syld3an3 1410	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ ℂHil)
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	10, 17	resssca 16753	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
19	3, 18	syl5reqr 2788	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
20	19	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑋) = ℂfld)
21	16, 20	jca 515	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (𝑋 ∈ ℂHil ∧ (Scalar‘𝑋) = ℂfld))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843   × cxp 5523  dom cdm 5525   ↾ cres 5527  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ↾_s cress 16587  Scalarcsca 16671  distcds 16677  LSubSpclss 19822  MetOpencmopn 20207  ℂ_fldccnfld 20217  ⇝_𝑡clm 21977  NrmVeccnvc 23334  ℂPreHilccph 23918  Cauccau 24005  CMetSpccms 24084  Bancbn 24085  ℂHilchl 24086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lmhm 19913  df-lvec 19994  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-phl 20442  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-fcls 22692  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-nm 23335  df-ngp 23336  df-nlm 23339  df-nvc 23340  df-cncf 23630  df-cph 23920  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-cms 24087  df-bn 24088  df-hl 24089

This theorem is referenced by: (None)