MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssbn 24714
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssbn ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn
StepHypRef Expression
1 bnnvc 24702 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2 lssbn.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 lssbn.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssnvc 24064 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
72, 6resssca 17223 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
87adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
96bnsca 24701 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
109adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
118, 10eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
1312isbn 24700 . . . . 5 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14 3anan32 1097 . . . . 5 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1513, 14bitri 274 . . . 4 (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1615baib 536 . . 3 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
175, 11, 16syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18 bncms 24706 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssss 20395 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21 lssbn.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
222, 19, 21cmsss 24713 . . 3 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2318, 20, 22syl2an 596 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2417, 23bitrd 278 1 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  s cress 17111  Scalarcsca 17135  TopOpenctopn 17302  LSubSpclss 20390  Clsdccld 22365  NrmVeccnvc 23935  CMetSpccms 24694  Bancbn 24695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13269  df-icc 13270  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-tset 17151  df-ds 17154  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-topgen 17324  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lvec 20562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-haus 22664  df-fil 23195  df-flim 23288  df-xms 23671  df-ms 23672  df-nm 23936  df-ngp 23937  df-nlm 23940  df-nvc 23941  df-cfil 24617  df-cmet 24619  df-cms 24697  df-bn 24698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator