Theorem lssbn 25319

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssbn	⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnvc 25307	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		lssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnvc 24667	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5	1, 4	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17306	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	bnsca 25306	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
11	8, 10	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	isbn 25305	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14		3anan32 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
15	13, 14	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
16	15	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
17	5, 11, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18		bncms 25311	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssss 20931	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21		lssbn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
22	2, 19, 21	cmsss 25318	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
23	18, 20, 22	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
24	17, 23	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  TopOpenctopn 17384  LSubSpclss 20926  Clsdccld 22981  NrmVeccnvc 24546  CMetSpccms 25299  Bancbn 25300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-icc 13305  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ds 17242  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lvec 21098  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-haus 23280  df-fil 23811  df-flim 23904  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nlm 24551  df-nvc 24552  df-cfil 25222  df-cmet 25224  df-cms 25302  df-bn 25303

This theorem is referenced by: (None)