Theorem lssbn 25706

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssbn	⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnvc 25694	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		lssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnvc 25054	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5	1, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17546	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	bnsca 25693	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
11	8, 10	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	isbn 25692	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14		3anan32 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
16	15	baib 545	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
17	5, 11, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18		bncms 25698	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssss 21244	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21		lssbn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
22	2, 19, 21	cmsss 25705	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
23	18, 20, 22	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
24	17, 23	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  Scalarcsca 17463  TopOpenctopn 17624  LSubSpclss 21239  Clsdccld 23367  NrmVeccnvc 24933  CMetSpccms 25686  Bancbn 25687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-icc 13513  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-tset 17479  df-ds 17482  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-topgen 17646  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lvec 21411  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-haus 23666  df-fil 24198  df-flim 24291  df-xms 24672  df-ms 24673  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-nlm 24938  df-nvc 24939  df-cfil 25609  df-cmet 25611  df-cms 25689  df-bn 25690

This theorem is used by: (None)