MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssbn 23962
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssbn ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn
StepHypRef Expression
1 bnnvc 23950 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2 lssbn.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 lssbn.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssnvc 23314 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
51, 4sylan 583 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
72, 6resssca 16653 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
87adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
96bnsca 23949 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
109adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
118, 10eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
1312isbn 23948 . . . . 5 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14 3anan32 1094 . . . . 5 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1513, 14bitri 278 . . . 4 (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
1615baib 539 . . 3 ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
175, 11, 16syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18 bncms 23954 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssss 19711 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21 lssbn.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
222, 19, 21cmsss 23961 . . 3 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2318, 20, 22syl2an 598 . 2 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
2417, 23bitrd 282 1 ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3920  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  s cress 16487  Scalarcsca 16571  TopOpenctopn 16698  LSubSpclss 19706  Clsdccld 21627  NrmVeccnvc 23194  CMetSpccms 23942  Bancbn 23943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ico 12744  df-icc 12745  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-tset 16587  df-ds 16590  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-topgen 16720  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lvec 19878  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-haus 21926  df-fil 22457  df-flim 22550  df-xms 22933  df-ms 22934  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nlm 23199  df-nvc 23200  df-cfil 23865  df-cmet 23867  df-cms 23945  df-bn 23946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator