Theorem lssbn 23956

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssbn	⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnvc 23944	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		lssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnvc 23308	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5	1, 4	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 16642	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	bnsca 23943	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
11	8, 10	eqeltrrd 2891	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	isbn 23942	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14		3anan32 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
16	15	baib 539	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
17	5, 11, 16	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18		bncms 23948	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssss 19701	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21		lssbn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
22	2, 19, 21	cmsss 23955	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
23	18, 20, 22	syl2an 598	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
24	17, 23	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  TopOpenctopn 16687  LSubSpclss 19696  Clsdccld 21621  NrmVeccnvc 23188  CMetSpccms 23936  Bancbn 23937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lvec 19868  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-haus 21920  df-fil 22451  df-flim 22544  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nlm 23193  df-nvc 23194  df-cfil 23859  df-cmet 23861  df-cms 23939  df-bn 23940

This theorem is referenced by: (None)