Theorem lssbn 25468

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssbn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssbn	⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem lssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnvc 25456	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		lssbn.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssbn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnvc 24816	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5	1, 4	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17384	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	bnsca 25455	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
11	8, 10	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	isbn 25454	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
14		3anan32 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) ∧ 𝑋 ∈ CMetSp))
16	15	baib 544	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
17	5, 11, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑋 ∈ CMetSp))
18		bncms 25460	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
20	19, 3	lssss 21023	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
21		lssbn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
22	2, 19, 21	cmsss 25467	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
23	18, 20, 22	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
24	17, 23	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ Ban ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  Scalarcsca 17301  TopOpenctopn 17462  LSubSpclss 21018  Clsdccld 23130  NrmVeccnvc 24695  CMetSpccms 25448  Bancbn 25449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13366  df-icc 13367  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ds 17320  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-topgen 17484  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lvec 21190  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-haus 23429  df-fil 23960  df-flim 24053  df-xms 24434  df-ms 24435  df-nm 24696  df-ngp 24697  df-nlm 24700  df-nvc 24701  df-cfil 25371  df-cmet 25373  df-cms 25451  df-bn 25452

This theorem is referenced by: (None)