Theorem cmslssbn 25748

Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 25712. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmslssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmslssbn	⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmslssbn.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		cmslssbn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssnvc 25076	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
4	3	ad2ant2rl 762	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ CMetSp)
6		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	1, 6	resssca 17560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	8	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
10	9	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
11	10	impancom 457	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) → ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
12	11	imp 412	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
14	13	isbn 25714	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
15	4, 5, 12, 14	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↾_s cress 17452  Scalarcsca 17475  LSubSpclss 21257  NrmVeccnvc 24955  CMetSpccms 25708  Bancbn 25709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lvec 21429  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nlm 24960  df-nvc 24961  df-bn 25712

This theorem is used by:  bncssbn  25750  cssbn  25751  cmslsschl  25753