Theorem cmslssbn 25407

Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 25371. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmslssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmslssbn	⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmslssbn.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		cmslssbn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssnvc 24735	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
4	3	ad2ant2rl 757	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5		simprl 778	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ CMetSp)
6		eqid 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	1, 6	resssca 17348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	ad2antll 737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	8	eleq1d 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
10	9	biimpd 231	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
11	10	impancom 454	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) → ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
12	11	imp 409	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
13		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
14	13	isbn 25373	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
15	4, 5, 12, 14	syl3anbrc 1353	1 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↾_s cress 17242  Scalarcsca 17265  LSubSpclss 20971  NrmVeccnvc 24614  CMetSpccms 25367  Bancbn 25368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-tset 17281  df-ds 17284  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-topgen 17448  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20163  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lvec 21143  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-xms 24353  df-ms 24354  df-nm 24615  df-ngp 24616  df-nlm 24619  df-nvc 24620  df-bn 25371

This theorem is referenced by:  bncssbn  25409  cssbn  25410  cmslsschl  25412