MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmslssbn 23658
Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 23622. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cmslssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmslssbn (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 cmslssbn.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssnvc 22994 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
43ad2ant2rl 745 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5 simprl 767 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ CMetSp)
6 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
71, 6resssca 16479 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
87ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
98eleq1d 2867 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
109biimpd 230 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
1110impancom 452 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) → ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
1211imp 407 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
13 eqid 2795 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
1413isbn 23624 . 2 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
154, 5, 12, 14syl3anbrc 1336 1 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  s cress 16313  Scalarcsca 16397  LSubSpclss 19393  NrmVeccnvc 22874  CMetSpccms 23618  Bancbn 23619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ds 16416  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-topgen 16546  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lvec 19565  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-xms 22613  df-ms 22614  df-nm 22875  df-ngp 22876  df-nlm 22879  df-nvc 22880  df-bn 23622
This theorem is referenced by:  bncssbn  23660  cssbn  23661  cmslsschl  23663
  Copyright terms: Public domain W3C validator