MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmslssbn 24739
Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 24703. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cmslssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cmslssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . . 4 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 cmslssbn.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssnvc 24069 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmVec)
43ad2ant2rl 748 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ NrmVec)
5 simprl 770 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
71, 6resssca 17225 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
87ad2antll 728 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
98eleq1d 2823 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
109biimpd 228 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
1110impancom 453 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) β†’ ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
1211imp 408 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp)
13 eqid 2737 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
1413isbn 24705 . 2 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
154, 5, 12, 14syl3anbrc 1344 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύs cress 17113  Scalarcsca 17137  LSubSpclss 20395  NrmVeccnvc 23940  CMetSpccms 24699  Bancbn 24700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-tset 17153  df-ds 17156  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-topgen 17326  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lvec 20567  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-xms 23676  df-ms 23677  df-nm 23941  df-ngp 23942  df-nlm 23945  df-nvc 23946  df-bn 24703
This theorem is referenced by:  bncssbn  24741  cssbn  24742  cmslsschl  24744
  Copyright terms: Public domain W3C validator