Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmslssbn 23983
 Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 23947. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cmslssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmslssbn (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 cmslssbn.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssnvc 23315 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
43ad2ant2rl 748 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5 simprl 770 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ CMetSp)
6 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
71, 6resssca 16644 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
87ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
98eleq1d 2874 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
109biimpd 232 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
1110impancom 455 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) → ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
1211imp 410 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
13 eqid 2798 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
1413isbn 23949 . 2 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
154, 5, 12, 14syl3anbrc 1340 1 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾s cress 16478  Scalarcsca 16562  LSubSpclss 19699  NrmVeccnvc 23195  CMetSpccms 23943  Bancbn 23944 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ds 16581  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lvec 19871  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-xms 22934  df-ms 22935  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nlm 23200  df-nvc 23201  df-bn 23947 This theorem is referenced by:  bncssbn  23985  cssbn  23986  cmslsschl  23988
 Copyright terms: Public domain W3C validator