MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmslssbn 25328
Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 25292. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cmslssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cmslssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . . 4 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 cmslssbn.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssnvc 24647 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmVec)
43ad2ant2rl 747 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ NrmVec)
5 simprl 769 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
6 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
71, 6resssca 17333 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
87ad2antll 727 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
98eleq1d 2814 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
109biimpd 228 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
1110impancom 450 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) β†’ ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
1211imp 405 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp)
13 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
1413isbn 25294 . 2 (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ CMetSp))
154, 5, 12, 14syl3anbrc 1340 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύs cress 17218  Scalarcsca 17245  LSubSpclss 20829  NrmVeccnvc 24518  CMetSpccms 25288  Bancbn 25289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-tset 17261  df-ds 17264  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-topgen 17434  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lvec 21002  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-xms 24254  df-ms 24255  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nlm 24523  df-nvc 24524  df-bn 25292
This theorem is referenced by:  bncssbn  25330  cssbn  25331  cmslsschl  25333
  Copyright terms: Public domain W3C validator