Theorem cmslssbn 23969

Description: A complete linear subspace of a normed vector space is a Banach space. We furthermore have to assume that the field of scalars is complete since this is a requirement in the current definition of Banach spaces df-bn 23933. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmslssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmslssbn	⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cmslssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmslssbn.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		cmslssbn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssnvc 23305	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)
4	3	ad2ant2rl 747	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ NrmVec)
5		simprl 769	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ CMetSp)
6		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	1, 6	resssca 16644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	8	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
10	9	biimpd 231	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
11	10	impancom 454	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) → ((𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
12	11	imp 409	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp)
13		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
14	13	isbn 23935	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Ban ↔ (𝑋 ∈ NrmVec ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ CMetSp))
15	4, 5, 12, 14	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↾_s cress 16478  Scalarcsca 16562  LSubSpclss 19697  NrmVeccnvc 23185  CMetSpccms 23929  Bancbn 23930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ds 16581  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lvec 19869  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nlm 23190  df-nvc 23191  df-bn 23933

This theorem is referenced by:  bncssbn  23971  cssbn  23972  cmslsschl  23974