MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrninitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrninitoringc 20598
Description: The zero ring is not an initial object in the category of unital rings (if the universe contains at least one unital ring different from the zero ring). (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrtermoringc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
zrtermoringc.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
zrtermoringc.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
zrtermoringc.e (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
zrninitoringc.e (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)π‘Ÿ ∈ NzRing)
Assertion
Ref Expression
zrninitoringc (πœ‘ β†’ 𝑍 βˆ‰ (InitOβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ÿ   𝑍,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝑉(π‘Ÿ)

Proof of Theorem zrninitoringc
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrninitoringc.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)π‘Ÿ ∈ NzRing)
2 zrtermoringc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
4 zrtermoringc.u . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
7 zrtermoringc.e . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
8 zrtermoringc.z . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
98eldifad 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
107, 9elind 4190 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
112, 3, 4ringcbas 20572 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
1210, 11eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
14 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
152, 3, 5, 6, 13, 14ringchom 20574 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = (𝑍 RingHom π‘Ÿ))
168adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
17 nrhmzr 20463 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ (𝑍 RingHom π‘Ÿ) = βˆ…)
1816, 17sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ (𝑍 RingHom π‘Ÿ) = βˆ…)
1915, 18eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = βˆ…)
20 eq0 4339 . . . . . . . . 9 ((𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = βˆ… ↔ βˆ€β„Ž Β¬ β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ βˆ€β„Ž Β¬ β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
22 alnex 1776 . . . . . . . 8 (βˆ€β„Ž Β¬ β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ Β¬ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
24 euex 2566 . . . . . . 7 (βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
2523, 24nsyl 140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ π‘Ÿ ∈ NzRing) β†’ Β¬ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
2625ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (π‘Ÿ ∈ NzRing β†’ Β¬ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
2726reximdva 3163 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)π‘Ÿ ∈ NzRing β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) Β¬ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
281, 27mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) Β¬ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
29 rexnal 3095 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) Β¬ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
31 df-nel 3042 . . 3 (𝑍 βˆ‰ (InitOβ€˜πΆ) ↔ Β¬ 𝑍 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
322ringccat 20585 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
334, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
343, 6, 33, 12isinito 17976 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (InitOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3534notbid 318 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑍 ∈ (InitOβ€˜πΆ) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3631, 35bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 βˆ‰ (InitOβ€˜πΆ) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑍(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3730, 36mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 βˆ‰ (InitOβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1532   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆƒ!weu 2557   βˆ‰ wnel 3041  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  Hom chom 17235  Catccat 17635  InitOcinito 17961  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  NzRingcnzr 20440  RingCatcringc 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-cat 17639  df-cid 17640  df-homf 17641  df-ssc 17784  df-resc 17785  df-subc 17786  df-inito 17964  df-estrc 18104  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-rhm 20400  df-nzr 20441  df-ringc 20568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator