Theorem zrninitoringc 20762

Description: The zero ring is not an initial object in the category of unital rings (if the universe contains at least one unital ring different from the zero ring). (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrtermoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
zrtermoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
zrtermoringc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
zrtermoringc.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
zrninitoringc.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
zrninitoringc	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑍,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem zrninitoringc

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrninitoringc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)
2		zrtermoringc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		zrtermoringc.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7		zrtermoringc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		zrtermoringc.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
9	8	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 9	elind 4154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
11	2, 3, 4	ringcbas 20736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
12	10, 11	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
13	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
14		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
15	2, 3, 5, 6, 13, 14	ringchom 20738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = (𝑍 RingHom 𝑟))
16	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
17		nrhmzr 20623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
18	16, 17	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
19	15, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅)
20		eq0 4305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅ ↔ ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
21	19, 20	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
22		alnex 1811	. . . . . . . 8 ⊢ (∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
23	21, 22	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
24		euex 2605	. . . . . . 7 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) → ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
25	23, 24	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
26	25	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑟 ∈ NzRing → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
27	26	reximdva 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
28	1, 27	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
29		rexnal 3117	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
30	28, 29	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
31		df-nel 3065	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶))
32	2	ringccat 20749	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
33	4, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
34	3, 6, 33, 12	isinito 18054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
35	34	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
36	31, 35	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
37	30, 36	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Hom chom 17322  Catccat 17721  InitOcinito 18039  Ringcrg 20316   RingHom crh 20552  NzRingcnzr 20596  RingCatcringc 20731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-cat 17725  df-cid 17726  df-homf 17727  df-ssc 17868  df-resc 17869  df-subc 17870  df-inito 18042  df-estrc 18180  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-rhm 20555  df-nzr 20597  df-ringc 20732

This theorem is referenced by: (None)