Theorem zrninitoringc 20609

Description: The zero ring is not an initial object in the category of unital rings (if the universe contains at least one unital ring different from the zero ring). (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrtermoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
zrtermoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
zrtermoringc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
zrtermoringc.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
zrninitoringc.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
zrninitoringc	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑍,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem zrninitoringc

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrninitoringc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)
2		zrtermoringc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		zrtermoringc.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7		zrtermoringc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		zrtermoringc.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
9	8	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 9	elind 4152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
11	2, 3, 4	ringcbas 20583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
12	10, 11	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
14		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
15	2, 3, 5, 6, 13, 14	ringchom 20585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = (𝑍 RingHom 𝑟))
16	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
17		nrhmzr 20470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
18	16, 17	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
19	15, 18	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅)
20		eq0 4302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅ ↔ ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
22		alnex 1782	. . . . . . . 8 ⊢ (∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
24		euex 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) → ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
25	23, 24	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑟 ∈ NzRing → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
27	26	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
28	1, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
29		rexnal 3088	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
30	28, 29	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
31		df-nel 3037	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶))
32	2	ringccat 20596	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
33	4, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
34	3, 6, 33, 12	isinito 17920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
35	34	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
36	31, 35	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
37	30, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2568   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Hom chom 17188  Catccat 17587  InitOcinito 17905  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  NzRingcnzr 20445  RingCatcringc 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-cat 17591  df-cid 17592  df-homf 17593  df-ssc 17734  df-resc 17735  df-subc 17736  df-inito 17908  df-estrc 18046  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-ringc 20579

This theorem is referenced by: (None)