Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrninitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrninitoringc 44244
 Description: The zero ring is not an initial object in the category of unital rings (if the universe contains at least one unital ring different from the zero ring). (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrtermoringc.u (𝜑𝑈𝑉)
zrtermoringc.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
zrtermoringc.z (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
zrtermoringc.e (𝜑𝑍𝑈)
zrninitoringc.e (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)
Assertion
Ref Expression
zrninitoringc (𝜑𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑍,𝑟   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem zrninitoringc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrninitoringc.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)
2 zrtermoringc.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4 zrtermoringc.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑉)
54ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑈𝑉)
6 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7 zrtermoringc.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍𝑈)
8 zrtermoringc.z . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
98eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
107, 9elind 4175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
112, 3, 4ringcbas 44184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
1210, 11eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
1312ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
14 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
152, 3, 5, 6, 13, 14ringchom 44186 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = (𝑍 RingHom 𝑟))
168adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
17 nrhmzr 44046 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
1816, 17sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
1915, 18eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅)
20 eq0 4312 . . . . . . . . 9 ((𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅ ↔ ∀ ¬ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
2119, 20sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ∀ ¬ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
22 alnex 1775 . . . . . . . 8 (∀ ¬ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∃ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
2321, 22sylib 219 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
24 euex 2660 . . . . . . 7 (∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) → ∃ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
2523, 24nsyl 142 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
2625ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑟 ∈ NzRing → ¬ ∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
2726reximdva 3279 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
281, 27mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
29 rexnal 3243 . . 3 (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
3028, 29sylib 219 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
31 df-nel 3129 . . 3 (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶))
322ringccat 44197 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
334, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
343, 6, 33, 12isinito 17255 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
3534notbid 319 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
3631, 35syl5bb 284 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃! ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
3730, 36mpbird 258 1 (𝜑𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1528   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2651   ∉ wnel 3128  ∀wral 3143  ∃wrex 3144   ∖ cdif 3937   ∩ cin 3939  ∅c0 4295  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  Hom chom 16571  Catccat 16930  InitOcinito 17243  Ringcrg 19233   RingHom crh 19400  NzRingcnzr 19965  RingCatcringc 44176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-cat 16934  df-cid 16935  df-homf 16936  df-ssc 17075  df-resc 17076  df-subc 17077  df-inito 17246  df-estrc 17368  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-ghm 18301  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-rnghom 19403  df-nzr 19966  df-ringc 44178 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator