Theorem zrninitoringc 20557

Description: The zero ring is not an initial object in the category of unital rings (if the universe contains at least one unital ring different from the zero ring). (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrtermoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
zrtermoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
zrtermoringc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
zrtermoringc.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
zrninitoringc.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
zrninitoringc	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑍,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem zrninitoringc

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrninitoringc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing)
2		zrtermoringc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
3		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		zrtermoringc.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7		zrtermoringc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		zrtermoringc.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
9	8	eldifad 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
10	7, 9	elind 4186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
11	2, 3, 4	ringcbas 20531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
12	10, 11	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
13	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
14		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
15	2, 3, 5, 6, 13, 14	ringchom 20533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = (𝑍 RingHom 𝑟))
16	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
17		nrhmzr 20422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
18	16, 17	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom 𝑟) = ∅)
19	15, 18	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅)
20		eq0 4335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) = ∅ ↔ ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
21	19, 20	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
22		alnex 1775	. . . . . . . 8 ⊢ (∀ℎ ¬ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
24		euex 2563	. . . . . . 7 ⊢ (∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) → ∃ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
25	23, 24	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ 𝑟 ∈ NzRing) → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑟 ∈ NzRing → ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
27	26	reximdva 3160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶)𝑟 ∈ NzRing → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
28	1, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
29		rexnal 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ¬ ∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
30	28, 29	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟))
31		df-nel 3039	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶))
32	2	ringccat 20544	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
33	4, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
34	3, 6, 33, 12	isinito 17945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
35	34	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
36	31, 35	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∉ (InitO‘𝐶) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!ℎ ℎ ∈ (𝑍(Hom ‘𝐶)𝑟)))
37	30, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∉ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∃!weu 2554   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3937   ∩ cin 3939  ∅c0 4314  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  Hom chom 17204  Catccat 17604  InitOcinito 17930  Ringcrg 20123   RingHom crh 20356  NzRingcnzr 20399  RingCatcringc 20526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-cat 17608  df-cid 17609  df-homf 17610  df-ssc 17753  df-resc 17754  df-subc 17755  df-inito 17933  df-estrc 18073  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-ghm 19124  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-rhm 20359  df-nzr 20400  df-ringc 20527

This theorem is referenced by: (None)