Theorem rhmsubcrngclem1 20603

Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 20605. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
5	2, 4	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Ring))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrhm 20429	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10		rhmsubcrngc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13		rhmsubcrngc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		ringrng 20224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
16	15	anim2i 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
17	16	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
18	3, 17	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
20		elin 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 11, 13	rngcbas 20558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
24	21, 23	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
26	2, 25	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
27	26	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
28	10, 11, 12, 14, 27, 7	rngcid 20572	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29		rhmsubcrngc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
30	29	oveqdr 7388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
34	31, 32, 13, 33	ringchomfval 20588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
35	31, 32, 13	ringcbas 20587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36		incom 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
37	1, 36	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
38	37	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
39	35, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
40	39	sqxpeqd 5657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
41	40	reseq2d 5939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
42	34, 41	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
44	43	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
45	44	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
46	37	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
47	46	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
48	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
49	47, 48	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
50	31, 32, 14, 33, 49, 49	ringchom 20589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
51	30, 45, 50	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
52	9, 28, 51	3eltr4d 2852	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Hom chom 17192  Idccid 17592  Rngcrng 20091  Ringcrg 20172   RingHom crh 20409  RngCatcrngc 20553  RingCatcringc 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-cat 17595  df-cid 17596  df-homf 17597  df-ssc 17738  df-resc 17739  df-subc 17740  df-estrc 18050  df-mgm 18569  df-mgmhm 18621  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rnghm 20376  df-rhm 20412  df-rngc 20554  df-ringc 20583

This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20605