Theorem rhmsubcrngclem1 20776

Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 20778. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
5	2, 4	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Ring))
6	5	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrhm 20584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10		rhmsubcrngc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13		rhmsubcrngc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		ringrng 20375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
16	15	anim2i 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
17	16	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
18	3, 17	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
19	18	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
20		elin 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 11, 13	rngcbas 20731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
23	22	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
24	21, 23	eleqtrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
25	24	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
26	2, 25	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
27	26	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
28	10, 11, 12, 14, 27, 7	rngcid 20745	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29		rhmsubcrngc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
30	29	oveqdr 7440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
34	31, 32, 13, 33	ringchomfval 20761	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
35	31, 32, 13	ringcbas 20760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36		incom 4161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
37	1, 36	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
38	37	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
39	35, 38	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
40	39	sqxpeqd 5692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
41	40	reseq2d 5977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
42	34, 41	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
43	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
44	43	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
45	44	oveqd 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
46	37	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
47	46	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
48	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
49	47, 48	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
50	31, 32, 14, 33, 49, 49	ringchom 20762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
51	30, 45, 50	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
52	9, 28, 51	3eltr4d 2877	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   I cid 5554   × cxp 5658   ↾ cres 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  Hom chom 17327  Idccid 17727  Rngcrng 20236  Ringcrg 20321   RingHom crh 20558  RngCatcrngc 20726  RingCatcringc 20755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-cat 17730  df-cid 17731  df-homf 17732  df-ssc 17873  df-resc 17874  df-subc 17875  df-estrc 18185  df-mgm 18704  df-mgmhm 18756  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-ghm 19290  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-rnghm 20525  df-rhm 20561  df-rngc 20727  df-ringc 20756

This theorem is used by:  rhmsubcrngc  20778