Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcrngclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem1 46399
Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 46401. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rhmsubcrngc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rhmsubcrngc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
21eleq2d 2824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
3 elin 3931 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
43simplbi 499 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
52, 4syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Ring))
65imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
7 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
87idrhm 20172 . . 3 (π‘₯ ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
96, 8syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
10 rhmsubcrngc.c . . 3 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
12 eqid 2737 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
13 rhmsubcrngc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
1413adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
15 ringrng 46251 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ Ring β†’ π‘₯ ∈ Rng)
1615anim2i 618 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
1716ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
183, 17sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
1918adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
20 elin 3931 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng))
2210, 11, 13rngcbas 46337 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Rng))
2421, 23eleqtrrd 2841 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2524ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
262, 25sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
2726imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2810, 11, 12, 14, 27, 7rngcid 46351 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))
29 rhmsubcrngc.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3029oveqdr 7390 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯))
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
32 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
33 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
3431, 32, 13, 33ringchomfval 46384 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))))
3531, 32, 13ringcbas 46383 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Ring))
36 incom 4166 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
371, 36eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
3837eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = 𝐡)
3935, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = 𝐡)
4039sqxpeqd 5670 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))) = (𝐡 Γ— 𝐡))
4140reseq2d 5942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4234, 41eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4342adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4443eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
4544oveqd 7379 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯))
4637eleq2d 2824 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
4746biimpa 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
4835adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Ring))
4947, 48eleqtrrd 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
5031, 32, 14, 33, 49, 49ringchom 46385 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
5130, 45, 503eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
529, 28, 513eltr4d 2853 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3914   I cid 5535   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Idccid 17552  Ringcrg 19971   RingHom crh 20152  Rngcrng 46246  RngCatcrngc 46329  RingCatcringc 46375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-cat 17555  df-cid 17556  df-homf 17557  df-ssc 17700  df-resc 17701  df-subc 17702  df-estrc 18017  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-rnghom 20155  df-mgmhm 46147  df-rng 46247  df-rnghomo 46259  df-rngc 46331  df-ringc 46377
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  46401
  Copyright terms: Public domain W3C validator