Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcrngclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem1 43056
Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 43058. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2845 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elin 4019 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 493 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
52, 4syl6bi 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Ring))
65imp 397 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrhm 19131 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10 rhmsubcrngc.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12 eqid 2778 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13 rhmsubcrngc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1413adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
15 ringrng 42908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
1615anim2i 610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1716ancoms 452 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
183, 17sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1918adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
20 elin 4019 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2119, 20sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 11, 13rngcbas 42994 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2322adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2421, 23eleqtrrd 2862 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2524ex 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
262, 25sylbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
2726imp 397 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2810, 11, 12, 14, 27, 7rngcid 43008 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29 rhmsubcrngc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3029oveqdr 6952 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31 eqid 2778 . . . . . . . 8 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
3431, 32, 13, 33ringchomfval 43041 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
3531, 32, 13ringcbas 43040 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36 incom 4028 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
371, 36syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3837eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
3935, 38eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
4039sqxpeqd 5389 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
4140reseq2d 5644 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4234, 41eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4342adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4443eqcomd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
4544oveqd 6941 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
4637eleq2d 2845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
4746biimpa 470 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4835adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
4947, 48eleqtrrd 2862 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
5031, 32, 14, 33, 49, 49ringchom 43042 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
5130, 45, 503eqtrd 2818 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
529, 28, 513eltr4d 2874 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791   I cid 5262   × cxp 5355  cres 5359  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  Hom chom 16360  Idccid 16722  Ringcrg 18945   RingHom crh 19112  Rngcrng 42903  RngCatcrngc 42986  RingCatcringc 43032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-cat 16725  df-cid 16726  df-homf 16727  df-ssc 16866  df-resc 16867  df-subc 16868  df-estrc 17159  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-ghm 18053  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-rnghom 19115  df-mgmhm 42808  df-rng0 42904  df-rnghomo 42916  df-rngc 42988  df-ringc 43034
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator