Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcrngclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem1 43668
Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 43670. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2851 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elin 4057 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 490 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
52, 4syl6bi 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Ring))
65imp 398 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrhm 19206 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10 rhmsubcrngc.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12 eqid 2778 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13 rhmsubcrngc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1413adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
15 ringrng 43520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
1615anim2i 607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1716ancoms 451 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
183, 17sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1918adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
20 elin 4057 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2119, 20sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 11, 13rngcbas 43606 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2322adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2421, 23eleqtrrd 2869 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2524ex 405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
262, 25sylbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
2726imp 398 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2810, 11, 12, 14, 27, 7rngcid 43620 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29 rhmsubcrngc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3029oveqdr 7004 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31 eqid 2778 . . . . . . . 8 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
3431, 32, 13, 33ringchomfval 43653 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
3531, 32, 13ringcbas 43652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36 incom 4066 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
371, 36syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3837eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
3935, 38eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
4039sqxpeqd 5439 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
4140reseq2d 5695 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4234, 41eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4342adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4443eqcomd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
4544oveqd 6993 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
4637eleq2d 2851 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
4746biimpa 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4835adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
4947, 48eleqtrrd 2869 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
5031, 32, 14, 33, 49, 49ringchom 43654 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
5130, 45, 503eqtrd 2818 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
529, 28, 513eltr4d 2881 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3828   I cid 5311   × cxp 5405  cres 5409  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  Hom chom 16432  Idccid 16794  Ringcrg 19020   RingHom crh 19187  Rngcrng 43515  RngCatcrngc 43598  RingCatcringc 43644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-cat 16797  df-cid 16798  df-homf 16799  df-ssc 16938  df-resc 16939  df-subc 16940  df-estrc 17231  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-ghm 18127  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-rnghom 19190  df-mgmhm 43420  df-rng0 43516  df-rnghomo 43528  df-rngc 43600  df-ringc 43646
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  43670
  Copyright terms: Public domain W3C validator