Theorem rhmsubcrngclem1 20642

Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 20644. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elin 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
5	2, 4	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Ring))
6	5	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrhm 20465	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10		rhmsubcrngc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13		rhmsubcrngc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		ringrng 20261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
16	15	anim2i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
17	16	ancoms 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
18	3, 17	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
19	18	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
20		elin 3901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
21	19, 20	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 11, 13	rngcbas 20597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
23	22	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
24	21, 23	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
25	24	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
26	2, 25	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
27	26	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
28	10, 11, 12, 14, 27, 7	rngcid 20611	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29		rhmsubcrngc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
30	29	oveqdr 7388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
34	31, 32, 13, 33	ringchomfval 20627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
35	31, 32, 13	ringcbas 20626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36		incom 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
37	1, 36	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
38	37	eqcomd 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
39	35, 38	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
40	39	sqxpeqd 5653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
41	40	reseq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
42	34, 41	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
43	42	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
44	43	eqcomd 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
45	44	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
46	37	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
47	46	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
48	35	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
49	47, 48	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
50	31, 32, 14, 33, 49, 49	ringchom 20628	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
51	30, 45, 50	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
52	9, 28, 51	3eltr4d 2856	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3884   I cid 5515   × cxp 5619   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  Hom chom 17226  Idccid 17626  Rngcrng 20128  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444  RngCatcrngc 20592  RingCatcringc 20621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-cat 17629  df-cid 17630  df-homf 17631  df-ssc 17772  df-resc 17773  df-subc 17774  df-estrc 18084  df-mgm 18603  df-mgmhm 18655  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19183  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rnghm 20411  df-rhm 20447  df-rngc 20593  df-ringc 20622

This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20644