MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubcrngclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem1 20638
Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 20640. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcrngc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2812 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elin 3963 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 496 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
52, 4biimtrdi 252 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Ring))
65imp 405 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrhm 20466 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10 rhmsubcrngc.c . . 3 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12 eqid 2726 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13 rhmsubcrngc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
15 ringrng 20258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
1615anim2i 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈𝑥 ∈ Ring) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1716ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
183, 17sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
1918adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
20 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥𝑈𝑥 ∈ Rng))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 11, 13rngcbas 20593 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
2421, 23eleqtrrd 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2524ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
262, 25sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
2726imp 405 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
2810, 11, 12, 14, 27, 7rngcid 20607 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29 rhmsubcrngc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3029oveqdr 7442 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31 eqid 2726 . . . . . . . 8 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
3431, 32, 13, 33ringchomfval 20623 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
3531, 32, 13ringcbas 20622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36 incom 4200 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
371, 36eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
3837eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
3935, 38eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
4039sqxpeqd 5705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
4140reseq2d 5980 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4234, 41eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4342adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4443eqcomd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
4544oveqd 7431 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
4637eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
4746biimpa 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4835adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
4947, 48eleqtrrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
5031, 32, 14, 33, 49, 49ringchom 20624 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
5130, 45, 503eqtrd 2770 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
529, 28, 513eltr4d 2841 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3946   I cid 5570   × cxp 5671  cres 5675  cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  Hom chom 17270  Idccid 17671  Rngcrng 20129  Ringcrg 20210   RingHom crh 20445  RngCatcrngc 20588  RingCatcringc 20617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-hom 17283  df-cco 17284  df-0g 17449  df-cat 17674  df-cid 17675  df-homf 17676  df-ssc 17819  df-resc 17820  df-subc 17821  df-estrc 18139  df-mgm 18626  df-mgmhm 18678  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-rnghm 20412  df-rhm 20448  df-rngc 20589  df-ringc 20618
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20640
  Copyright terms: Public domain W3C validator