Theorem rhmsubcrngclem1 20865

Description: Lemma 1 for rhmsubcrngc 20867. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcrngclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcrngc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
5	2, 4	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Ring))
6	5	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrhm 20672	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10		rhmsubcrngc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13		rhmsubcrngc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		ringrng 20461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → 𝑥 ∈ Rng)
16	15	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
17	16	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
18	3, 17	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
20		elin 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ Rng))
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 11, 13	rngcbas 20820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
24	21, 23	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
26	2, 25	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)))
27	26	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
28	10, 11, 12, 14, 27, 7	rngcid 20834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
29		rhmsubcrngc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
30	29	oveqdr 7437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
33		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
34	31, 32, 13, 33	ringchomfval 20850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
35	31, 32, 13	ringcbas 20849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
36		incom 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
37	1, 36	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
38	37	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
39	35, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
40	39	sqxpeqd 5680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
41	40	reseq2d 5967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
42	34, 41	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
44	43	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
45	44	oveqd 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
46	37	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
47	46	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
48	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
49	47, 48	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
50	31, 32, 14, 33, 49, 49	ringchom 20851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
51	30, 45, 50	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
52	9, 28, 51	3eltr4d 2875	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   I cid 5542   × cxp 5646   ↾ cres 5650  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  Hom chom 17386  Idccid 17786  Rngcrng 20321  Ringcrg 20406   RingHom crh 20646  RngCatcrngc 20815  RingCatcringc 20844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-cat 17789  df-cid 17790  df-homf 17791  df-ssc 17932  df-resc 17933  df-subc 17934  df-estrc 18244  df-mgm 18763  df-mgmhm 18828  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-ghm 19375  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-rnghm 20613  df-rhm 20649  df-rngc 20816  df-ringc 20845

This theorem is used by:  rhmsubcrngc  20867