Theorem recvsOLD 25102

Description: Obsolete version of recvs 25101 as of 23-Nov-2024. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvsOLD	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21565	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		fldidom 21272	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3		isidom 21268	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4		crngring 20199	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
5	4	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
6	3, 5	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
9		rlmlmod 21110	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11		rlmsca 21105	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13		df-refld 21551	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
14	12, 13	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
15		resubdrg 21554	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
16	15	simpli 482	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
18	17	isclmi 25032	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
19	10, 14, 16, 18	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
20	15	simpri 484	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
21		rlmlvec 21111	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
23	19, 22	elini 4195	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25		df-cvs 25079	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
26	23, 24, 25	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11147   ↾_s cress 17218  Scalarcsca 17245  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188  SubRingcsubrg 20520  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  LModclmod 20757  LVecclvec 21001  ringLModcrglmod 21071  Domncdomn 21241  IDomncidom 21242  ℂ_fldccnfld 21293  ℝ_fldcrefld 21550  ℂModcclm 25017  ℂVecccvs 25078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-nzr 20466  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-field 20641  df-lmod 20759  df-lvec 21002  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-rlreg 21244  df-domn 21245  df-idom 21246  df-cnfld 21294  df-refld 21551  df-clm 25018  df-cvs 25079

This theorem is referenced by: (None)