Theorem recvsOLD 25029

Description: Obsolete version of recvs 25028 as of 23-Nov-2024. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvsOLD	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21512	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		fldidom 21219	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3		isidom 21216	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4		crngring 20150	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
6	3, 5	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
9		rlmlmod 21059	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11		rlmsca 21054	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13		df-refld 21498	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
14	12, 13	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
15		resubdrg 21501	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
16	15	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
18	17	isclmi 24959	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
19	10, 14, 16, 18	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
20	15	simpri 485	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
21		rlmlvec 21060	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
23	19, 22	elini 4188	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25		df-cvs 25006	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
26	23, 24, 25	3eltr4i 2840	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111   ↾_s cress 17182  Scalarcsca 17209  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  Fieldcfield 20588  LModclmod 20706  LVecclvec 20950  ringLModcrglmod 21020  Domncdomn 21190  IDomncidom 21191  ℂ_fldccnfld 21240  ℝ_fldcrefld 21497  ℂModcclm 24944  ℂVecccvs 25005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-nzr 20415  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-rlreg 21193  df-domn 21194  df-idom 21195  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-clm 24945  df-cvs 25006

This theorem is referenced by: (None)