MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recvsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recvsOLD 25193
Description: Obsolete version of recvs 25192 as of 23-Nov-2024. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
recvs.r 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
Assertion
Ref Expression
recvsOLD 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvsOLD
StepHypRef Expression
1 refld 21654 . . . . . 6 fld ∈ Field
2 fldidom 20787 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3 isidom 20741 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4 crngring 20262 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
63, 5sylbi 217 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
81, 7ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
9 rlmlmod 21227 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11 rlmsca 21222 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
121, 11ax-mp 5 . . . . 5 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13 df-refld 21640 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
1412, 13eqtr3i 2764 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ)
15 resubdrg 21643 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1615simpli 483 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17 eqid 2734 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
1817isclmi 25123 . . . 4 (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
1910, 14, 16, 18mp3an 1460 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
2015simpri 485 . . . 4 fld ∈ DivRing
21 rlmlvec 21228 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
2319, 22elini 4208 . 2 (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 recvs.r . 2 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25 df-cvs 25170 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2623, 24, 253eltr4i 2851 1 𝑅 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  s cress 17273  Scalarcsca 17300  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  SubRingcsubrg 20585  Domncdomn 20708  IDomncidom 20709  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  LModclmod 20874  LVecclvec 21118  ringLModcrglmod 21188  fldccnfld 21381  fldcrefld 21639  ℂModcclm 25108  ℂVecccvs 25169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-clm 25109  df-cvs 25170
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator