Theorem root1id 25917

Description: Property of an 𝑁-th root of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
root1id	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem root1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12097	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
3		2re 12057	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		nndivre 12024	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	3, 4	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11013	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		nnnn0 12250	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	2, 6, 7	cxpmul2d 25874	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑁)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁))
9		2cnd 12061	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
10		nncn 11991	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		nnne0 12017	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
12	9, 10, 11	divcan1d 11762	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 / 𝑁) · 𝑁) = 2)
13	12	oveq2d 7283	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑁)) = (-1↑𝑐2))
14		2nn0 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		cxpexp 25833	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐2) = (-1↑2))
16	1, 14, 15	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (-1↑𝑐2) = (-1↑2)
17		ax-1cn 10939	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		sqneg 13846	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (-1↑2) = (1↑2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (-1↑2) = (1↑2)
20		sq1 13922	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
21	16, 19, 20	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐2) = 1
22	13, 21	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑁)) = 1)
23	8, 22	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  ℝcr 10880  1c1 10882   · cmul 10886  -cneg 11216   / cdiv 11642  ℕcn 11983  2c2 12038  ℕ₀cn0 12243  ↑cexp 13792  ↑_𝑐ccxp 25721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ioc 13094  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-sin 15789  df-cos 15790  df-pi 15792  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041  df-log 25722  df-cxp 25723

This theorem is referenced by:  root1cj  25919  cxpeq  25920