Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem50 45064
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem50.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem50.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem50.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem50.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem50.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑒,𝑇   𝑒,π‘ˆ   𝑒,π‘Š   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘ž,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘ž,𝑑   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑔,β„Ž   𝑔,π‘Š   𝑍,π‘ž,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐽,𝑀   𝑑,𝐾   πœ‘,𝑒   𝑀,𝑄   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑀,𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑄(π‘₯,𝑒,𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘ˆ(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑍(𝑀,𝑒,π‘Ÿ)
Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 nfrab1 3449 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
42, 3nfcxfr 2899 . . 3 β„²β„Žπ‘„
5 nfv 1915 . . 3 β„²π‘žπœ‘
6 stoweidlem50.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2010uniexd 7734 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 45060 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
23 dfin4 4266 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ π‘ˆ) = (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
24 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
27 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ βŠ† 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2923, 28eqtr3id 2784 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) = π‘ˆ)
3029, 18eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 23119 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4131 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇)
349iscld2 22752 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½))
37 cmpcld 23126 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
399cmpsub 23124 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4032, 33, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
42 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}} βŠ† 𝐽
438, 42eqsstri 4015 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† 𝐽
448, 10rabexd 5332 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
45 elpwg 4604 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4743, 46mpbiri 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4918 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ βˆͺ 𝑐 = βˆͺ π‘Š)
4948sseq2d 4013 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 ↔ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š))
50 pweq 4615 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Š β†’ 𝒫 𝑐 = 𝒫 π‘Š)
5150ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
5251rexeqdv 3324 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5349, 52imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Š β†’ (((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ↔ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
5453rspccva 3610 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ∧ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5541, 47, 54syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5655imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
57 df-rex 3069 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5856, 57sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
59 elinel2 4195 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
6059ad2antrl 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
61 elinel1 4194 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6261ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6362elpwid 4610 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
64 simprr 769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
6560, 63, 643jca 1126 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6665ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6766eximdv 1918 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6922, 68mpdan 683 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13328   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  Topctop 22615  Clsdccld 22740   Cn ccn 22948  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  45067
  Copyright terms: Public domain W3C validator