Theorem stoweidlem50 46507

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem50.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem50.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem50.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem50.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem50.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem50.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,ℎ   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem50.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		nfrab1 3413	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
4	2, 3	nfcxfr 2901	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝑄
5		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
6		stoweidlem50.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		stoweidlem50.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		stoweidlem50.5	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
9		stoweidlem50.6	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10		stoweidlem50.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
11		stoweidlem50.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
12		stoweidlem50.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13	11, 12	sseqtrdi 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14		stoweidlem50.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
15		stoweidlem50.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
16		stoweidlem50.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
17		stoweidlem50.13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
18		stoweidlem50.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19		stoweidlem50.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
20	10	uniexd 7689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
21	9, 20	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
22	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21	stoweidlem46 46503	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)
23		dfin4 4209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈))
24		elssuni 4872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
26	25, 9	sseqtrrdi 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
27		sseqin2 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
28	26, 27	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
29	23, 28	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) = 𝑈)
30	29, 18	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽)
31		cmptop 23382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
33		difssd 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇)
34	9	iscld2 23015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
35	32, 33, 34	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
36	30, 35	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37		cmpcld 23389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
38	10, 36, 37	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
39	9	cmpsub 23387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
40	32, 33, 39	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
41	38, 40	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
42		ssrab2 4014	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ⊆ 𝐽
43	8, 42	eqsstri 3963	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐽
44	8, 10	rabexd 5271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
45		elpwg 4535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
47	43, 46	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48		unieq 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝑊)
49	48	sseq2d 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 ↔ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊))
50		pweq 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
51	50	ineq1d 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
52	51	rexeqdv 3300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
53	49, 52	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ↔ ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
54	53	rspccva 3561	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
55	41, 47, 54	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
56	55	imp 408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57		df-rex 3066	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58	56, 57	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
59		elinel2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
60	59	ad2antrl 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61		elinel1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
62	61	ad2antrl 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
63	62	elpwid 4541	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
64		simprr 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
65	60, 63, 64	3jca 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
66	65	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
67	66	eximdv 1925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
68	58, 67	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
69	22, 68	mpdan 694	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  ∃wex 1787  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121  Ⅎwnfc 2888   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175  (,)cioo 13293   ↾_t crest 17378  topGenctg 17395  Topctop 22880  Clsdccld 23003   Cn ccn 23211  Compccmp 23373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-cmp 23374  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  46510