Theorem stoweidlem50 46865

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem50.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem50.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem50.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem50.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem50.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem50.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,ℎ   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑡, ℎ)   𝐴(𝑤, 𝑢)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑢, 𝑡, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑄(𝑥, 𝑢, 𝑡, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑈(𝑤, 𝑡, ℎ)   𝐽(𝑥, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑢, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑍(𝑤, 𝑢, 𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem50.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		nfrab1 3434	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
4	2, 3	nfcxfr 2922	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝑄
5		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
6		stoweidlem50.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		stoweidlem50.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		stoweidlem50.5	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
9		stoweidlem50.6	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10		stoweidlem50.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
11		stoweidlem50.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
12		stoweidlem50.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13	11, 12	sseqtrdi 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14		stoweidlem50.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
15		stoweidlem50.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
16		stoweidlem50.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
17		stoweidlem50.13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
18		stoweidlem50.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19		stoweidlem50.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
20	10	uniexd 7747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
21	9, 20	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
22	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21	stoweidlem46 46861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)
23		dfin4 4227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈))
24		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
25	18, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
26	25, 9	sseqtrrdi 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
27		sseqin2 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
29	23, 28	eqtr3id 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) = 𝑈)
30	29, 18	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽)
31		cmptop 23621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32	10, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
33		difssd 4087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇)
34	9	iscld2 23254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
35	32, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
36	30, 35	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37		cmpcld 23628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
38	10, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
39	9	cmpsub 23626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
40	32, 33, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
41	38, 40	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
42		ssrab2 4031	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ⊆ 𝐽
43	8, 42	eqsstri 3980	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐽
44	8, 10	rabexd 5308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
45		elpwg 4563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
47	43, 46	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48		unieq 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝑊)
49	48	sseq2d 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 ↔ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊))
50		pweq 4574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
51	50	ineq1d 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
52	51	rexeqdv 3322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
53	49, 52	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ↔ ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
54	53	rspccva 3578	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
55	41, 47, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
56	55	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57		df-rex 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58	56, 57	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
59		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
60	59	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61		elinel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
62	61	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
63	62	elpwid 4569	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
64		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
65	60, 63, 64	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
66	65	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
67	66	eximdv 1950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
68	58, 67	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
69	22, 68	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,)cioo 13400   ↾_t crest 17509  topGenctg 17526  Topctop 23119  Clsdccld 23242   Cn ccn 23450  Compccmp 23612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549

This theorem is used by:  stoweidlem53  46868