Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem50 46065
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 𝑡𝑈
stoweidlem50.2 𝑡𝜑
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem50.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem50.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem50.14 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem50.15 (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 𝑡𝑈
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 nfrab1 3457 . . . 4 {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
42, 3nfcxfr 2903 . . 3 𝑄
5 nfv 1914 . . 3 𝑞𝜑
6 stoweidlem50.2 . . 3 𝑡𝜑
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 4024 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (𝜑𝑍𝑈)
2010uniexd 7762 . . . 4 (𝜑 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 46061 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
23 dfin4 4278 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇𝑈))
24 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑇)
27 sseqin2 4223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2826, 27sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇𝑈) = 𝑈)
2923, 28eqtr3id 2791 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) = 𝑈)
3029, 18eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 23403 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4137 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
349iscld2 23036 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37 cmpcld 23410 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
399cmpsub 23408 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4032, 33, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4138, 40mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
42 ssrab2 4080 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ⊆ 𝐽
438, 42eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝑊𝐽
448, 10rabexd 5340 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ V)
45 elpwg 4603 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4743, 46mpbiri 258 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4918 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 𝑐 = 𝑊)
4948sseq2d 4016 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊))
50 pweq 4614 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
5150ineq1d 4219 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
5251rexeqdv 3327 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5349, 52imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
5453rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5541, 47, 54syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5655imp 406 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
57 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5856, 57sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
59 elinel2 4202 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
6059ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61 elinel1 4201 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6261ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6362elpwid 4609 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑊)
64 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
6560, 63, 643jca 1129 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6665ex 412 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6766eximdv 1917 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6922, 68mpdan 687 1 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  Clsdccld 23024   Cn ccn 23232  Compccmp 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  46068
  Copyright terms: Public domain W3C validator