Theorem stoweidlem50 46331

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem50.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem50.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem50.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem50.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem50.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem50.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,ℎ   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem50.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		nfrab1 3418	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
4	2, 3	nfcxfr 2895	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝑄
5		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
6		stoweidlem50.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		stoweidlem50.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		stoweidlem50.5	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
9		stoweidlem50.6	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10		stoweidlem50.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
11		stoweidlem50.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
12		stoweidlem50.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13	11, 12	sseqtrdi 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14		stoweidlem50.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
15		stoweidlem50.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
16		stoweidlem50.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
17		stoweidlem50.13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
18		stoweidlem50.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19		stoweidlem50.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
20	10	uniexd 7687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
21	9, 20	eqeltrid 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
22	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21	stoweidlem46 46327	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)
23		dfin4 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈))
24		elssuni 4893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
26	25, 9	sseqtrrdi 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
27		sseqin2 4174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
29	23, 28	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) = 𝑈)
30	29, 18	eqeltrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽)
31		cmptop 23341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
33		difssd 4088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇)
34	9	iscld2 22974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
35	32, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
36	30, 35	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37		cmpcld 23348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
38	10, 36, 37	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
39	9	cmpsub 23346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
40	32, 33, 39	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
41	38, 40	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
42		ssrab2 4031	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ⊆ 𝐽
43	8, 42	eqsstri 3979	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐽
44	8, 10	rabexd 5284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
45		elpwg 4556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
47	43, 46	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48		unieq 4873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝑊)
49	48	sseq2d 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 ↔ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊))
50		pweq 4567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
51	50	ineq1d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
52	51	rexeqdv 3296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
53	49, 52	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ↔ ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
54	53	rspccva 3574	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
55	41, 47, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
56	55	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57		df-rex 3060	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58	56, 57	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
59		elinel2 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
60	59	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61		elinel1 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
62	61	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
63	62	elpwid 4562	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
64		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
65	60, 63, 64	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
66	65	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
67	66	eximdv 1919	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
68	58, 67	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
69	22, 68	mpdan 688	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398  Vcvv 3439   ∖ cdif 3897   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13263   ↾_t crest 17342  topGenctg 17359  Topctop 22839  Clsdccld 22962   Cn ccn 23170  Compccmp 23332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  46334