Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem50 44766
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem50.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem50.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem50.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem50.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem50.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑒,𝑇   𝑒,π‘ˆ   𝑒,π‘Š   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘ž,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘ž,𝑑   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑔,β„Ž   𝑔,π‘Š   𝑍,π‘ž,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐽,𝑀   𝑑,𝐾   πœ‘,𝑒   𝑀,𝑄   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑀,𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑄(π‘₯,𝑒,𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘ˆ(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑍(𝑀,𝑒,π‘Ÿ)
Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 nfrab1 3452 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
42, 3nfcxfr 2902 . . 3 β„²β„Žπ‘„
5 nfv 1918 . . 3 β„²π‘žπœ‘
6 stoweidlem50.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 4033 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2010uniexd 7732 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 44762 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
23 dfin4 4268 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ π‘ˆ) = (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
24 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
27 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ βŠ† 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2923, 28eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) = π‘ˆ)
3029, 18eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 22899 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4133 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇)
349iscld2 22532 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½))
37 cmpcld 22906 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
399cmpsub 22904 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4032, 33, 39syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
42 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}} βŠ† 𝐽
438, 42eqsstri 4017 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† 𝐽
448, 10rabexd 5334 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
45 elpwg 4606 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4743, 46mpbiri 258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4920 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ βˆͺ 𝑐 = βˆͺ π‘Š)
4948sseq2d 4015 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 ↔ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š))
50 pweq 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Š β†’ 𝒫 𝑐 = 𝒫 π‘Š)
5150ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
5251rexeqdv 3327 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5349, 52imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Š β†’ (((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ↔ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
5453rspccva 3612 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ∧ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5541, 47, 54syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5655imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
57 df-rex 3072 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5856, 57sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
59 elinel2 4197 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
6059ad2antrl 727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
61 elinel1 4196 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6261ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6362elpwid 4612 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
64 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
6560, 63, 643jca 1129 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6665ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6766eximdv 1921 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6922, 68mpdan 686 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  Clsdccld 22520   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  44769
  Copyright terms: Public domain W3C validator