Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem50 42483
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 𝑡𝑈
stoweidlem50.2 𝑡𝜑
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem50.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem50.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem50.14 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem50.15 (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 𝑡𝑈
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 nfrab1 3371 . . . 4 {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
42, 3nfcxfr 2971 . . 3 𝑄
5 nfv 1915 . . 3 𝑞𝜑
6 stoweidlem50.2 . . 3 𝑡𝜑
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 3996 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (𝜑𝑍𝑈)
2010uniexd 7446 . . . 4 (𝜑 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2915 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 42479 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
23 dfin4 4222 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇𝑈))
24 elssuni 4844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 3997 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑇)
27 sseqin2 4170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2826, 27sylib 220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇𝑈) = 𝑈)
2923, 28syl5eqr 2869 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) = 𝑈)
3029, 18eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 21979 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4088 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
349iscld2 21612 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37 cmpcld 21986 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
399cmpsub 21984 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4032, 33, 39syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4138, 40mpbid 234 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
42 ssrab2 4035 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ⊆ 𝐽
438, 42eqsstri 3980 . . . . . . 7 𝑊𝐽
448, 10rabexd 5212 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ V)
45 elpwg 4518 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4743, 46mpbiri 260 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4825 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 𝑐 = 𝑊)
4948sseq2d 3978 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊))
50 pweq 4531 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
5150ineq1d 4166 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
5251rexeqdv 3399 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5349, 52imbi12d 347 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
5453rspccva 3601 . . . . . 6 ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5541, 47, 54syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5655imp 409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
57 df-rex 3131 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5856, 57sylib 220 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
59 elinel2 4151 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
6059ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61 elinel1 4150 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6261ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6362elpwid 4526 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑊)
64 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
6560, 63, 643jca 1124 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6665ex 415 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6766eximdv 1918 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6922, 68mpdan 685 1 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wex 1780  wnf 1784  wcel 2114  wnfc 2957  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  Vcvv 3473  cdif 3910  cin 3912  wss 3913  𝒫 cpw 4515   cuni 4814   class class class wbr 5042  cmpt 5122  ran crn 5532  cfv 6331  (class class class)co 7133  Fincfn 8487  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520   < clt 10653  cle 10654  (,)cioo 12717  t crest 16673  topGenctg 16690  Topctop 21477  Clsdccld 21600   Cn ccn 21808  Compccmp 21970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  42486
  Copyright terms: Public domain W3C validator