Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem50 44377
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem50.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem50.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem50.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem50.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem50.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑒,𝑇   𝑒,π‘ˆ   𝑒,π‘Š   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘ž,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘ž,𝑑   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑔,β„Ž   𝑔,π‘Š   𝑍,π‘ž,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐽,𝑀   𝑑,𝐾   πœ‘,𝑒   𝑀,𝑄   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑀,𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑄(π‘₯,𝑒,𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘ˆ(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑍(𝑀,𝑒,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 nfrab1 3425 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
42, 3nfcxfr 2902 . . 3 β„²β„Žπ‘„
5 nfv 1918 . . 3 β„²π‘žπœ‘
6 stoweidlem50.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 3995 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2010uniexd 7680 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 44373 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
23 dfin4 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ π‘ˆ) = (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
24 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 3996 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
27 sseqin2 4176 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ βŠ† 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2923, 28eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) = π‘ˆ)
3029, 18eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 22762 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4093 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇)
349iscld2 22395 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½))
37 cmpcld 22769 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
399cmpsub 22767 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4032, 33, 39syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
42 ssrab2 4038 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}} βŠ† 𝐽
438, 42eqsstri 3979 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† 𝐽
448, 10rabexd 5291 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
45 elpwg 4564 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4743, 46mpbiri 258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4877 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ βˆͺ 𝑐 = βˆͺ π‘Š)
4948sseq2d 3977 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 ↔ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š))
50 pweq 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Š β†’ 𝒫 𝑐 = 𝒫 π‘Š)
5150ineq1d 4172 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
5251rexeqdv 3313 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5349, 52imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Š β†’ (((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ↔ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
5453rspccva 3579 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ∧ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5541, 47, 54syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5655imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
57 df-rex 3071 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5856, 57sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
59 elinel2 4157 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
6059ad2antrl 727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
61 elinel1 4156 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6261ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6362elpwid 4570 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
64 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
6560, 63, 643jca 1129 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6665ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6766eximdv 1921 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6922, 68mpdan 686 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195  (,)cioo 13270   β†Ύt crest 17307  topGenctg 17324  Topctop 22258  Clsdccld 22383   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator