Theorem stoweidlem50 42334

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem50.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem50.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem50.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem50.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem50.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem50.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,ℎ   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem50.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		nfrab1 3384	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
4	2, 3	nfcxfr 2975	. . 3 ⊢ Ⅎℎ𝑄
5		nfv 1911	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
6		stoweidlem50.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		stoweidlem50.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		stoweidlem50.5	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
9		stoweidlem50.6	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10		stoweidlem50.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
11		stoweidlem50.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
12		stoweidlem50.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13	11, 12	sseqtrdi 4016	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14		stoweidlem50.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
15		stoweidlem50.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
16		stoweidlem50.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
17		stoweidlem50.13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
18		stoweidlem50.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19		stoweidlem50.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
20	10	uniexd 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
21	9, 20	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
22	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21	stoweidlem46 42330	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)
23		dfin4 4243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈))
24		elssuni 4867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
26	25, 9	sseqtrrdi 4017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
27		sseqin2 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
28	26, 27	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
29	23, 28	syl5eqr 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) = 𝑈)
30	29, 18	eqeltrd 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽)
31		cmptop 22002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
33		difssd 4108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇)
34	9	iscld2 21635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
35	32, 33, 34	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ 𝐽))
36	30, 35	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
37		cmpcld 22009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
38	10, 36, 37	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp)
39	9	cmpsub 22007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
40	32, 33, 39	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t (𝑇 ∖ 𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
41	38, 40	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
42		ssrab2 4055	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ⊆ 𝐽
43	8, 42	eqsstri 4000	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐽
44	8, 10	rabexd 5235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
45		elpwg 4541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝑊 ⊆ 𝐽))
47	43, 46	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
48		unieq 4848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝑊)
49	48	sseq2d 3998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 ↔ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊))
50		pweq 4554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
51	50	ineq1d 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
52	51	rexeqdv 3416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
53	49, 52	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ↔ ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
54	53	rspccva 3621	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
55	41, 47, 54	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
56	55	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57		df-rex 3144	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58	56, 57	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
59		elinel2 4172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
60	59	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
61		elinel1 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
62	61	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
63	62	elpwid 4549	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
64		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
65	60, 63, 64	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
66	65	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
67	66	eximdv 1914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)))
68	58, 67	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
69	22, 68	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ∃wex 1776  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2961   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ran crn 5555  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675  (,)cioo 12737   ↾_t crest 16693  topGenctg 16710  Topctop 21500  Clsdccld 21623   Cn ccn 21831  Compccmp 21993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  42337