Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem50 44752
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem50.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem50.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem50.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem50.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem50.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem50.15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐽   𝑒,𝑇   𝑒,π‘ˆ   𝑒,π‘Š   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘ž,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘ž,𝑑   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑔,β„Ž   𝑔,π‘Š   𝑍,π‘ž,π‘₯   𝑇,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐽,𝑀   𝑑,𝐾   πœ‘,𝑒   𝑀,𝑄   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑀,𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑄(π‘₯,𝑒,𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘ˆ(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑍(𝑀,𝑒,π‘Ÿ)
Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 nfrab1 3451 . . . 4 β„²β„Ž{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
42, 3nfcxfr 2901 . . 3 β„²β„Žπ‘„
5 nfv 1917 . . 3 β„²π‘žπœ‘
6 stoweidlem50.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2010uniexd 7728 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
219, 20eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
221, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21stoweidlem46 44748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
23 dfin4 4266 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ π‘ˆ) = (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
24 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2625, 9sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
27 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ βŠ† 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ π‘ˆ) = π‘ˆ)
2923, 28eqtr3id 2786 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) = π‘ˆ)
3029, 18eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽)
31 cmptop 22890 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
33 difssd 4131 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇)
349iscld2 22523 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (𝑇 βˆ– (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ 𝐽))
3630, 35mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½))
37 cmpcld 22897 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
3810, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp)
399cmpsub 22895 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4032, 33, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
42 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}} βŠ† 𝐽
438, 42eqsstri 4015 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† 𝐽
448, 10rabexd 5332 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
45 elpwg 4604 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝒫 𝐽 ↔ π‘Š βŠ† 𝐽))
4743, 46mpbiri 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽)
48 unieq 4918 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ βˆͺ 𝑐 = βˆͺ π‘Š)
4948sseq2d 4013 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 ↔ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š))
50 pweq 4615 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = π‘Š β†’ 𝒫 𝑐 = 𝒫 π‘Š)
5150ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 (𝑐 = π‘Š β†’ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
5251rexeqdv 3326 . . . . . . . 8 (𝑐 = π‘Š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5349, 52imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Š β†’ (((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ↔ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
5453rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝐽((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) ∧ π‘Š ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5541, 47, 54syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5655imp 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
57 df-rex 3071 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
5856, 57sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
59 elinel2 4195 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
6059ad2antrl 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
61 elinel1 4194 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6261ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 π‘Š)
6362elpwid 4610 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
64 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
6560, 63, 643jca 1128 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) ∧ (𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6665ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6766eximdv 1920 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)))
6858, 67mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
6922, 68mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245  (,)cioo 13320   β†Ύt crest 17362  topGenctg 17379  Topctop 22386  Clsdccld 22511   Cn ccn 22719  Compccmp 22881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  44755
  Copyright terms: Public domain W3C validator