Theorem rhmsubcALTVcat 47097

Description: The restriction of the category of non-unital rings to the set of unital ring homomorphisms is a category. (Contributed by AV, 4-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVcat	⊢ (𝜑 → ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Proof of Theorem rhmsubcALTVcat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhmALTV.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcrescrhmALTV.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
4		rngcrescrhmALTV.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	2, 3, 4, 5	rhmsubcALTV 47096	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))
7	1, 6	subccat 17803	1 ⊢ (𝜑 → ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3948   × cxp 5675   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Catccat 17613   ↾_cat cresc 17760  Ringcrg 20128   RingHom crh 20361  RngCatALTVcrngcALTV 46946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-cat 17617  df-cid 17618  df-homf 17619  df-ssc 17762  df-resc 17763  df-subc 17764  df-mgm 18566  df-mgmhm 18618  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-rnghm 20328  df-rhm 20364  df-rngcALTV 46948

This theorem is referenced by: (None)