Theorem rhmsubcALTVcat 43778

Description: The restriction of the category of non-unital rings to the set of unital ring homomorphisms is a category. (Contributed by AV, 4-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVcat	⊢ (𝜑 → ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Proof of Theorem rhmsubcALTVcat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. 2 ⊢ ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhmALTV.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcrescrhmALTV.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
4		rngcrescrhmALTV.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	2, 3, 4, 5	rhmsubcALTV 43777	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))
7	1, 6	subccat 16988	1 ⊢ (𝜑 → ((RngCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ∩ cin 3821   × cxp 5401   ↾ cres 5405  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Catccat 16805   ↾_cat cresc 16948  Ringcrg 19032   RingHom crh 19199  RngCatALTVcrngcALTV 43627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-cat 16809  df-cid 16810  df-homf 16811  df-ssc 16950  df-resc 16951  df-subc 16952  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-ghm 18139  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-rnghom 19202  df-mgmhm 43448  df-rng0 43544  df-rnghomo 43556  df-rngcALTV 43629

This theorem is referenced by: (None)