Theorem rngccat 20560

Description: The category of non-unital rings is a category. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rngccat	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem rngccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngccat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
5	1, 2, 3, 4	rngcval 20544	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
6		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
9		incom 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
11	10	sqxpeqd 5704	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)) = ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈)))
12	11	reseq2d 5979	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
13	7, 2, 8, 12	rnghmsubcsetc 20559	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
14	6, 13	subccat 17827	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) ∈ Cat)
15	5, 14	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Catccat 17637   ↾_cat cresc 17784  ExtStrCatcestrc 18105  Rngcrng 20085   RngHom crnghm 20366  RngCatcrngc 20542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-cat 17641  df-cid 17642  df-homf 17643  df-ssc 17786  df-resc 17787  df-subc 17788  df-estrc 18106  df-mgm 18593  df-mgmhm 18645  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-ghm 19161  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-rnghm 20368  df-rngc 20543

This theorem is referenced by:  rngcsect  20562  rngcinv  20563  rngciso  20564  zrinitorngc  20568  zrtermorngc  20569  zrzeroorngc  20570  rhmsubcrngc  20594  rhmsubc  20615