Theorem rngccat 20671

Description: The category of non-unital rings is a category. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rngccat	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem rngccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngccat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
4		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
5	1, 2, 3, 4	rngcval 20655	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
9		incom 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
11	10	sqxpeqd 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)) = ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈)))
12	11	reseq2d 5961	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
13	7, 2, 8, 12	rnghmsubcsetc 20670	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
14	6, 13	subccat 17872	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) ∈ Cat)
15	5, 14	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   × cxp 5641   ↾ cres 5645  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Catccat 17687   ↾_cat cresc 17832  ExtStrCatcestrc 18145  Rngcrng 20189   RngHom crnghm 20470  RngCatcrngc 20653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-cat 17691  df-cid 17692  df-homf 17693  df-ssc 17834  df-resc 17835  df-subc 17836  df-estrc 18146  df-mgm 18665  df-mgmhm 18717  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18969  df-ghm 19245  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-rnghm 20472  df-rngc 20654

This theorem is referenced by:  rngcsect  20673  rngcinv  20674  rngciso  20675  zrinitorngc  20679  zrtermorngc  20680  zrzeroorngc  20681  rhmsubcrngc  20705  rhmsubc  20726