MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngccat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngccat 20574
Description: The category of non-unital rings is a category. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rngccat.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
rngccat (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Proof of Theorem rngccat
StepHypRef Expression
1 rngccat.c . . 3 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 eqidd 2729 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (π‘ˆ ∩ Rng))
4 eqidd 2729 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) = ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
51, 2, 3, 4rngcval 20558 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))
6 eqid 2728 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
7 eqid 2728 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
8 eqidd 2729 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Rng ∩ π‘ˆ) = (Rng ∩ π‘ˆ))
9 incom 4203 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
109a1i 11 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1110sqxpeqd 5714 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)) = ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ)))
1211reseq2d 5989 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) = ( RngHom β†Ύ ((Rng ∩ π‘ˆ) Γ— (Rng ∩ π‘ˆ))))
137, 2, 8, 12rnghmsubcsetc 20573 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
146, 13subccat 17841 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2829 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Catccat 17651   β†Ύcat cresc 17798  ExtStrCatcestrc 18119  Rngcrng 20099   RngHom crnghm 20380  RngCatcrngc 20556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-cat 17655  df-cid 17656  df-homf 17657  df-ssc 17800  df-resc 17801  df-subc 17802  df-estrc 18120  df-mgm 18607  df-mgmhm 18659  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-rnghm 20382  df-rngc 20557
This theorem is referenced by:  rngcsect  20576  rngcinv  20577  rngciso  20578  zrinitorngc  20582  zrtermorngc  20583  zrzeroorngc  20584  rhmsubcrngc  20608  rhmsubc  20629
  Copyright terms: Public domain W3C validator