MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringccat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringccat 20559
Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ringccat.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ringccat (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Proof of Theorem ringccat
StepHypRef Expression
1 ringccat.c . . 3 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 eqidd 2727 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (π‘ˆ ∩ Ring))
4 eqidd 2727 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 20543 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))
6 eqid 2726 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
7 eqid 2726 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
8 eqidd 2727 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Ring ∩ π‘ˆ) = (Ring ∩ π‘ˆ))
9 incom 4196 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ)
109a1i 11 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ))
1110sqxpeqd 5701 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)) = ((Ring ∩ π‘ˆ) Γ— (Ring ∩ π‘ˆ)))
1211reseq2d 5975 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((Ring ∩ π‘ˆ) Γ— (Ring ∩ π‘ˆ))))
137, 2, 8, 12rhmsubcsetc 20558 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
146, 13subccat 17807 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2827 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Catccat 17617   β†Ύcat cresc 17764  ExtStrCatcestrc 18085  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371  RingCatcringc 20541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-estrc 18086  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rhm 20374  df-ringc 20542
This theorem is referenced by:  ringcsect  20566  ringcinv  20567  ringciso  20568  zrtermoringc  20571  zrninitoringc  20572  srhmsubc  20576  irinitoringc  21366  nzerooringczr  21367  funcringcsetcALTV2  47246
  Copyright terms: Public domain W3C validator