Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringccat 44127
Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ringccat.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
ringccat (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat
StepHypRef Expression
1 ringccat.c . . 3 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 id 22 . . 3 (𝑈𝑉𝑈𝑉)
3 eqidd 2827 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4 eqidd 2827 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 44111 . 2 (𝑈𝑉𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6 eqid 2826 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7 eqid 2826 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8 eqidd 2827 . . . 4 (𝑈𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9 incom 4182 . . . . . . 7 (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
1110sqxpeqd 5586 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
1211reseq2d 5852 . . . 4 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
137, 2, 8, 12rhmsubcsetc 44126 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
146, 13subccat 17108 . 2 (𝑈𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2918 1 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939   × cxp 5552  cres 5556  cfv 6352  (class class class)co 7148  Catccat 16925  cat cresc 17068  ExtStrCatcestrc 17362  Ringcrg 19217   RingHom crh 19384  RingCatcringc 44106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-cat 16929  df-cid 16930  df-homf 16931  df-ssc 17070  df-resc 17071  df-subc 17072  df-estrc 17363  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-grp 18036  df-ghm 18286  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-rnghom 19387  df-ringc 44108
This theorem is referenced by:  ringcsect  44134  ringcinv  44135  ringciso  44136  funcringcsetcALTV2  44148  irinitoringc  44172  zrtermoringc  44173  zrninitoringc  44174  nzerooringczr  44175  srhmsubc  44179
  Copyright terms: Public domain W3C validator