Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringccat 42885
Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ringccat.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
ringccat (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat
StepHypRef Expression
1 ringccat.c . . 3 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 id 22 . . 3 (𝑈𝑉𝑈𝑉)
3 eqidd 2826 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4 eqidd 2826 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 42869 . 2 (𝑈𝑉𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6 eqid 2825 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7 eqid 2825 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8 eqidd 2826 . . . 4 (𝑈𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9 incom 4034 . . . . . . 7 (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
1110sqxpeqd 5378 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
1211reseq2d 5633 . . . 4 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
137, 2, 8, 12rhmsubcsetc 42884 . . 3 (𝑈𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
146, 13subccat 16867 . 2 (𝑈𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2906 1 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  cin 3797   × cxp 5344  cres 5348  cfv 6127  (class class class)co 6910  Catccat 16684  cat cresc 16827  ExtStrCatcestrc 17121  Ringcrg 18908   RingHom crh 19075  RingCatcringc 42864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-cat 16688  df-cid 16689  df-homf 16690  df-ssc 16829  df-resc 16830  df-subc 16831  df-estrc 17122  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-ghm 18016  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-rnghom 19078  df-ringc 42866
This theorem is referenced by:  ringcsect  42892  ringcinv  42893  ringciso  42894  funcringcsetcALTV2  42906  irinitoringc  42930  zrtermoringc  42931  zrninitoringc  42932  nzerooringczr  42933  srhmsubc  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator