Theorem ringccat 20580

Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ringccat	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringccat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 20564	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9		incom 4158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
11	10	sqxpeqd 5651	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
12	11	reseq2d 5932	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
13	7, 2, 8, 12	rhmsubcsetc 20579	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
14	6, 13	subccat 17757	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
15	5, 14	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   × cxp 5617   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Catccat 17572   ↾_cat cresc 17717  ExtStrCatcestrc 18030  Ringcrg 20153   RingHom crh 20389  RingCatcringc 20562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-cat 17576  df-cid 17577  df-homf 17578  df-ssc 17719  df-resc 17720  df-subc 17721  df-estrc 18031  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-grp 18851  df-ghm 19127  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-rhm 20392  df-ringc 20563

This theorem is referenced by:  ringcsect  20587  ringcinv  20588  ringciso  20589  zrtermoringc  20592  zrninitoringc  20593  srhmsubc  20597  irinitoringc  21418  nzerooringczr  21419  funcringcsetcALTV2  48423