Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringccat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringccat 46922
Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ringccat.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ringccat (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Proof of Theorem ringccat
StepHypRef Expression
1 ringccat.c . . 3 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 eqidd 2734 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (π‘ˆ ∩ Ring))
4 eqidd 2734 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
51, 2, 3, 4ringcval 46906 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))))
6 eqid 2733 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))))
7 eqid 2733 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
8 eqidd 2734 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Ring ∩ π‘ˆ) = (Ring ∩ π‘ˆ))
9 incom 4202 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ)
109a1i 11 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = (Ring ∩ π‘ˆ))
1110sqxpeqd 5709 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)) = ((Ring ∩ π‘ˆ) Γ— (Ring ∩ π‘ˆ)))
1211reseq2d 5982 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) = ( RingHom β†Ύ ((Ring ∩ π‘ˆ) Γ— (Ring ∩ π‘ˆ))))
137, 2, 8, 12rhmsubcsetc 46921 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
146, 13subccat 17798 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RingHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Ring) Γ— (π‘ˆ ∩ Ring)))) ∈ Cat)
155, 14eqeltrd 2834 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Catccat 17608   β†Ύcat cresc 17755  ExtStrCatcestrc 18073  Ringcrg 20056   RingHom crh 20248  RingCatcringc 46901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759  df-estrc 18074  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-rnghom 20251  df-ringc 46903
This theorem is referenced by:  ringcsect  46929  ringcinv  46930  ringciso  46931  funcringcsetcALTV2  46943  irinitoringc  46967  zrtermoringc  46968  zrninitoringc  46969  nzerooringczr  46970  srhmsubc  46974
  Copyright terms: Public domain W3C validator