Theorem ringccat 45255

Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ringccat	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringccat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 45239	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9		incom 4115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
11	10	sqxpeqd 5583	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
12	11	reseq2d 5851	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
13	7, 2, 8, 12	rhmsubcsetc 45254	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
14	6, 13	subccat 17354	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
15	5, 14	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3865   × cxp 5549   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Catccat 17167   ↾_cat cresc 17313  ExtStrCatcestrc 17629  Ringcrg 19562   RingHom crh 19732  RingCatcringc 45234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-cat 17171  df-cid 17172  df-homf 17173  df-ssc 17315  df-resc 17316  df-subc 17317  df-estrc 17630  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-ghm 18620  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-rnghom 19735  df-ringc 45236

This theorem is referenced by:  ringcsect  45262  ringcinv  45263  ringciso  45264  funcringcsetcALTV2  45276  irinitoringc  45300  zrtermoringc  45301  zrninitoringc  45302  nzerooringczr  45303  srhmsubc  45307