Theorem rhmsubccat 20670

Description: The restriction of the category of non-unital rings to the set of unital ring homomorphisms is a category. (Contributed by AV, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubccat	⊢ (𝜑 → ((RngCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Proof of Theorem rhmsubccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ ((RngCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((RngCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcrescrhm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
4		rngcrescrhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
5		rngcrescrhm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	2, 3, 4, 5	rhmsubc 20669	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCat‘𝑈)))
7	1, 6	subccat 17869	1 ⊢ (𝜑 → ((RngCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   × cxp 5682   ↾ cres 5686  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Catccat 17679   ↾_cat cresc 17826  Ringcrg 20218   RingHom crh 20453  RngCatcrngc 20596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-cat 17683  df-cid 17684  df-homf 17685  df-ssc 17828  df-resc 17829  df-subc 17830  df-estrc 18148  df-mgm 18635  df-mgmhm 18687  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-ghm 19209  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-rnghm 20420  df-rhm 20456  df-rngc 20597

This theorem is referenced by: (None)