MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphnmval 25185
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphnmval.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
tcphnmval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphnmval.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tcphnmval ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . 4 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
2 tcphnmval.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
3 tcphnmval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 tcphnmval.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4tchnmfval 25184 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
65fveq1d 6904 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ (π‘β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘‹))
7 oveq12 7435 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
87anidms 565 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
98fveq2d 6906 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
10 eqid 2728 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
11 fvex 6915 . . 3 (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 7010 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
136, 12sylan9eq 2788 1 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  βˆšcsqrt 15222  Basecbs 17189  Β·π‘–cip 17247  Grpcgrp 18904  normcnm 24513  toβ„‚PreHilctcph 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-ds 17264  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-nm 24519  df-tng 24521  df-tcph 25125
This theorem is referenced by:  ipcau2  25190  tcphcphlem1  25191  tcphcph  25193
  Copyright terms: Public domain W3C validator