MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphnmval 24391
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphnmval ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . 4 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2 tcphnmval.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 tcphnmval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 tcphnmval.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
51, 2, 3, 4tchnmfval 24390 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
65fveq1d 6773 . 2 (𝑊 ∈ Grp → (𝑁𝑋) = ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋))
7 oveq12 7280 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
87anidms 567 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
98fveq2d 6775 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
10 eqid 2740 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
11 fvex 6784 . . 3 (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6872 . 2 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
136, 12sylan9eq 2800 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cmpt 5162  cfv 6432  (class class class)co 7271  csqrt 14942  Basecbs 16910  ·𝑖cip 16965  Grpcgrp 18575  normcnm 23730  toℂPreHilctcph 24329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-tset 16979  df-ds 16982  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-nm 23736  df-tng 23738  df-tcph 24331
This theorem is referenced by:  ipcau2  24396  tcphcphlem1  24397  tcphcph  24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator