Theorem tcphnmval 23397

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphnmval	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphnmval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		tcphnmval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		tcphnmval.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 23396	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
6	5	fveq1d 6435	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋))
7		oveq12 6914	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
8	7	anidms 564	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
9	8	fveq2d 6437	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
10		eqid 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
11		fvex 6446	. . 3 ⊢ (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6529	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
13	6, 12	sylan9eq 2881	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  √csqrt 14350  Basecbs 16222  ·_𝑖cip 16310  Grpcgrp 17776  normcnm 22751  toℂPreHilctcph 23336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-tset 16324  df-ds 16327  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-nm 22757  df-tng 22759  df-tcph 23338

This theorem is referenced by:  ipcau2  23402  tcphcphlem1  23403  tcphcph  23405