Theorem tcphnmval 23834

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphnmval	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphnmval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		tcphnmval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		tcphnmval.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 23833	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
6	5	fveq1d 6674	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋))
7		oveq12 7167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
8	7	anidms 569	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
9	8	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
10		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
11		fvex 6685	. . 3 ⊢ (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6770	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
13	6, 12	sylan9eq 2878	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  √csqrt 14594  Basecbs 16485  ·_𝑖cip 16572  Grpcgrp 18105  normcnm 23188  toℂPreHilctcph 23773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-tset 16586  df-ds 16589  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-nm 23194  df-tng 23196  df-tcph 23775

This theorem is referenced by:  ipcau2  23839  tcphcphlem1  23840  tcphcph  23842