MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphnmval 23831
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphnmval ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . 4 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2 tcphnmval.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 tcphnmval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 tcphnmval.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
51, 2, 3, 4tchnmfval 23830 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
65fveq1d 6654 . 2 (𝑊 ∈ Grp → (𝑁𝑋) = ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋))
7 oveq12 7149 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
87anidms 570 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
98fveq2d 6656 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
10 eqid 2822 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
11 fvex 6665 . . 3 (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6750 . 2 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
136, 12sylan9eq 2877 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  csqrt 14583  Basecbs 16474  ·𝑖cip 16561  Grpcgrp 18094  normcnm 23181  toℂPreHilctcph 23770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-ds 16578  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-nm 23187  df-tng 23189  df-tcph 23772
This theorem is referenced by:  ipcau2  23836  tcphcphlem1  23837  tcphcph  23839
  Copyright terms: Public domain W3C validator