MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphnmval 24393
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphnmval ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))

Proof of Theorem tcphnmval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphval.n . . . 4 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2 tcphnmval.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 tcphnmval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 tcphnmval.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
51, 2, 3, 4tchnmfval 24392 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
65fveq1d 6776 . 2 (𝑊 ∈ Grp → (𝑁𝑋) = ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋))
7 oveq12 7284 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
87anidms 567 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
98fveq2d 6778 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
10 eqid 2738 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
11 fvex 6787 . . 3 (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6875 . 2 (𝑋𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
136, 12sylan9eq 2798 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  csqrt 14944  Basecbs 16912  ·𝑖cip 16967  Grpcgrp 18577  normcnm 23732  toℂPreHilctcph 24331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-ds 16984  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-nm 23738  df-tng 23740  df-tcph 24333
This theorem is referenced by:  ipcau2  24398  tcphcphlem1  24399  tcphcph  24401
  Copyright terms: Public domain W3C validator