Theorem telgsum 19940

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsum.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
telgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
telgsum.c	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
telgsum.d	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2		telgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
4	1, 3	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
5	4	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		peano2nn0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8		telgsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
10	7, 9	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
11	10	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
12	5, 11	oveq12d 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝐷) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
13	12	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
14	13	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
15		telgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16		telgsum.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
17		telgsum.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18		telgsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		telgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
20		telgsum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
21		telgsum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	telgsums 19939	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐴)
23		c0ex 11140	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
25		telgsum.e	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3887	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	14, 22, 27	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150  0_gc0g 17373   Σ_g cgsu 17374  -_gcsg 18882  Abelcabl 19727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729

This theorem is referenced by: (None)