Theorem telgsum 20208

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsum.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
telgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
telgsum.c	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
telgsum.d	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2		telgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
4	1, 3	csbied 3882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
5	4	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		peano2nn0 12646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8		telgsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
10	7, 9	csbied 3882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
11	10	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
12	5, 11	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝐷) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
13	12	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
14	13	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
15		telgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16		telgsum.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
17		telgsum.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18		telgsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		telgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
20		telgsum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
21		telgsum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	telgsums 20207	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐴)
23		c0ex 11300	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
25		telgsum.e	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3882	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	14, 22, 27	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3846   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  -_gcsg 19146  Abelcabl 19995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997

This theorem is used by: (None)