Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsum 19111
 Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m = (-g𝐺)
telgsum.0 0 = (0g𝐺)
telgsum.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
telgsum.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
telgsum.c (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
telgsum.d (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsum (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsum
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2 telgsum.c . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
32adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
41, 3csbied 3867 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐶)
54eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 peano2nn0 11929 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
76adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8 telgsum.d . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
98adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
107, 9csbied 3867 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐷)
1110eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
125, 11oveq12d 7157 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 𝐷) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1312mpteq2dva 5128 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1413oveq2d 7155 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
15 telgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 telgsum.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
17 telgsum.m . . 3 = (-g𝐺)
18 telgsum.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
19 telgsum.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
20 telgsum.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
21 telgsum.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21telgsums 19110 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = 0 / 𝑘𝐴)
23 c0ex 10628 . . . 4 0 ∈ V
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ V)
25 telgsum.e . . . 4 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3867 . 2 (𝜑0 / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2814, 22, 273eqtrd 2840 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ⦋csb 3831   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16479  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  -gcsg 18101  Abelcabl 18903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator