Theorem telgsum 19595

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsum.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
telgsum.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
telgsum.c	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
telgsum.d	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2		telgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐶)
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
4	1, 3	csbied 3870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
5	4	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		peano2nn0 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8		telgsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
10	7, 9	csbied 3870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
11	10	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
12	5, 11	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝐷) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
13	12	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
14	13	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
15		telgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
16		telgsum.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
17		telgsum.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18		telgsum.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		telgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐵)
20		telgsum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
21		telgsum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐴 = 0 ))
22	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	telgsums 19594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐴)
23		c0ex 10969	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
25		telgsum.e	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3870	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	14, 22, 27	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 − 𝐷))) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  ⦋csb 3832   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  -_gcsg 18579  Abelcabl 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389

This theorem is referenced by: (None)