Theorem termc 49524

Description: Alternate definition of TermCat. See also df-termc 49478. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
termc	⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem termc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ TermCat ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ TermCat ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ TermCat)
3	1, 2	functermceu 49515	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ TermCat ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
4	3	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
5		inss2 4191	. . . 4 ⊢ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat) ⊆ Cat
6		ssralv 4006	. . . 4 ⊢ (({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat) ⊆ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → ∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
8		termc2 49523	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ ({𝐶, (SetCat‘1o)} ∩ Cat)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ TermCat)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ TermCat)
10	4, 9	impbii 209	1 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561  ∀wral 3044   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1_oc1o 8388  Catccat 17589   Func cfunc 17780  SetCatcsetc 18001  TermCatctermc 49477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-sect 17673  df-inv 17674  df-iso 17675  df-cic 17722  df-func 17784  df-idfu 17785  df-cofu 17786  df-full 17832  df-fth 17833  df-termo 17911  df-setc 18002  df-catc 18025  df-thinc 49423  df-termc 49478

This theorem is referenced by:  dftermc2  49525