Theorem umgr2cycl 35135

Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2cycl.1	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-5 1910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2		alral 3059	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4		r19.29 3095	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
6		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7		umgr2cycl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10		simp3r 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
11		simp3l 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	umgr2cycllem 35134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13		s2len 14862	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
14	13	ax-gen 1795	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15		19.29r 1874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16		s2cli 14853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18		fveqeq2 6870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
20	19	rspcev 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
21	16, 20	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22		rexex 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
24	23	eximi 1835	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25		excomim 2164	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	12, 14, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28	27	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	rexlimdvw 3140	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	5, 29	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
31	30	expd 415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
32	31	rexlimdv 3133	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
33	32	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  2c2 12248  ♯chash 14302  Word cword 14485  ⟨“cs2 14814  iEdgciedg 28931  UMGraphcumgr 29015  Cyclesccycls 29722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-wlks 29534  df-trls 29627  df-pths 29651  df-cycls 29724

This theorem is referenced by:  umgracycusgr  35148