Theorem umgr2cycl 33822

Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2cycl.1	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-5 1913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2		alral 3074	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4		r19.29 3113	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
6		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7		umgr2cycl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10		simp3r 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
11		simp3l 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	umgr2cycllem 33821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13		s2len 14790	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
14	13	ax-gen 1797	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15		19.29r 1877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16		s2cli 14781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18		fveqeq2 6856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
19	17, 18	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
20	19	rspcev 3582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
21	16, 20	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22		rexex 3075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
24	23	eximi 1837	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25		excomim 2163	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	12, 14, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28	27	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	rexlimdvw 3153	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	5, 29	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
31	30	expd 416	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
32	31	rexlimdv 3146	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
33	32	imp 407	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3446   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ‘cfv 6501  2c2 12217  ♯chash 14240  Word cword 14414  ⟨“cs2 14742  iEdgciedg 28011  UMGraphcumgr 28095  Cyclesccycls 28796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-hash 14241  df-word 14415  df-concat 14471  df-s1 14496  df-s2 14749  df-s3 14750  df-edg 28062  df-uhgr 28072  df-upgr 28096  df-umgr 28097  df-wlks 28610  df-trls 28703  df-pths 28727  df-cycls 28798

This theorem is referenced by:  umgracycusgr  33835