Theorem umgr2cycl 35168

Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2cycl.1	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-5 1910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2		alral 3066	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4		r19.29 3102	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
6		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7		umgr2cycl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10		simp3r 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
11		simp3l 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	umgr2cycllem 35167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13		s2len 14913	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
14	13	ax-gen 1795	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15		19.29r 1874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16		s2cli 14904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17		breq1 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
20	19	rspcev 3606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
21	16, 20	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22		rexex 3067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
24	23	eximi 1835	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25		excomim 2164	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	12, 14, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28	27	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	rexlimdvw 3147	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	5, 29	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
31	30	expd 415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
32	31	rexlimdv 3140	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
33	32	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  2c2 12300  ♯chash 14353  Word cword 14536  ⟨“cs2 14865  iEdgciedg 28981  UMGraphcumgr 29065  Cyclesccycls 29772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-edg 29032  df-uhgr 29042  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-wlks 29584  df-trls 29677  df-pths 29701  df-cycls 29774

This theorem is referenced by:  umgracycusgr  35181