Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cycl 34430
Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2cycl.1 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
umgr2cycl ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐼   𝑓,𝑗,π‘˜,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl
StepHypRef Expression
1 ax-5 1911 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2 alral 3073 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ 𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4 r19.29 3112 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)))
53, 4sylan 578 . . . . 5 ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)))
6 eqid 2730 . . . . . . . . 9 βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©
7 umgr2cycl.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 simp1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
9 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10 simp3r 1200 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝑗 β‰  π‘˜)
11 simp3l 1199 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ (πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜))
126, 7, 8, 9, 10, 11umgr2cycllem 34429 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
13 s2len 14844 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2
1413ax-gen 1795 . . . . . . . 8 βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2
15 19.29r 1875 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘(βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2))
16 s2cli 14835 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© ∈ Word V
17 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ↔ βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
18 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2))
1917, 18anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) ↔ (βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2)))
2019rspcev 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© ∈ Word V ∧ (βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2116, 20mpan 686 . . . . . . . . . . 11 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
22 rexex 3074 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2423eximi 1835 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘(βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
25 excomim 2161 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2712, 14, 26sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
28273expib 1120 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
2928rexlimdvw 3158 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
305, 29syl5 34 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
3130expd 414 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))))
3231rexlimdv 3151 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
3332imp 405 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6542  2c2 12271  β™―chash 14294  Word cword 14468  βŸ¨β€œcs2 14796  iEdgciedg 28524  UMGraphcumgr 28608  Cyclesccycls 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-wlks 29123  df-trls 29216  df-pths 29240  df-cycls 29311
This theorem is referenced by:  umgracycusgr  34443
  Copyright terms: Public domain W3C validator