Theorem umgr2cycl 33103

Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2cycl.1	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-5 1913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2		alral 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4		r19.29 3184	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
6		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7		umgr2cycl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10		simp3r 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
11		simp3l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	umgr2cycllem 33102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13		s2len 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
14	13	ax-gen 1798	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15		19.29r 1877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16		s2cli 14593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18		fveqeq2 6783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
19	17, 18	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
20	19	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
21	16, 20	mpan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22		rexex 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
24	23	eximi 1837	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25		excomim 2163	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	12, 14, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28	27	3expib 1121	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	rexlimdvw 3219	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	5, 29	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
31	30	expd 416	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
32	31	rexlimdv 3212	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
33	32	imp 407	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  2c2 12028  ♯chash 14044  Word cword 14217  ⟨“cs2 14554  iEdgciedg 27367  UMGraphcumgr 27451  Cyclesccycls 28153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-pths 28084  df-cycls 28155

This theorem is referenced by:  umgracycusgr  33116