Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cycl 32496
 Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2cycl.1 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2cycl ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl
StepHypRef Expression
1 ax-5 1911 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2 alral 3125 . . . . . . 7 (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4 r19.29 3219 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
53, 4sylan 583 . . . . 5 ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
6 eqid 2801 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7 umgr2cycl.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → 𝑗𝑘)
11 simp3l 1198 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑘))
126, 7, 8, 9, 10, 11umgr2cycllem 32495 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13 s2len 14246 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
1413ax-gen 1797 . . . . . . . 8 𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15 19.29r 1875 . . . . . . . . 9 ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16 s2cli 14237 . . . . . . . . . . . 12 ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18 fveqeq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
1917, 18anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
2019rspcev 3574 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2116, 20mpan 689 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22 rexex 3206 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2423eximi 1836 . . . . . . . . 9 (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25 excomim 2168 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . 8 ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2712, 14, 26sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28273expib 1119 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
2928rexlimdvw 3252 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
305, 29syl5 34 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
3130expd 419 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
3231rexlimdv 3245 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
3332imp 410 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑗) = (𝐼𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  2c2 11684  ♯chash 13690  Word cword 13861  ⟨“cs2 14198  iEdgciedg 26793  UMGraphcumgr 26877  Cyclesccycls 27577 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-umgr 26879  df-wlks 27392  df-trls 27485  df-pths 27508  df-cycls 27579 This theorem is referenced by:  umgracycusgr  32509
 Copyright terms: Public domain W3C validator