Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cycl 34132
Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
umgr2cycl.1 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
umgr2cycl ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐼   𝑓,𝑗,π‘˜,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl
StepHypRef Expression
1 ax-5 1914 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2 alral 3076 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ 𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4 r19.29 3115 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)))
53, 4sylan 581 . . . . 5 ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)))
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©
7 umgr2cycl.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
8 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
9 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ 𝑗 β‰  π‘˜)
11 simp3l 1202 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ (πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜))
126, 7, 8, 9, 10, 11umgr2cycllem 34131 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
13 s2len 14840 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2
1413ax-gen 1798 . . . . . . . 8 βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2
15 19.29r 1878 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘(βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2))
16 s2cli 14831 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© ∈ Word V
17 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ↔ βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
18 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2))
1917, 18anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) ↔ (βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2)))
2019rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ© ∈ Word V ∧ (βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2116, 20mpan 689 . . . . . . . . . . 11 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
22 rexex 3077 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘“ ∈ Word V(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2423eximi 1838 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘(βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
25 excomim 2164 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘βˆƒπ‘“(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ βˆ€π‘(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘—π‘˜β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
2712, 14, 26sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
28273expib 1123 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
2928rexlimdvw 3161 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
305, 29syl5 34 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
3130expd 417 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))))
3231rexlimdv 3154 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
3332imp 408 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom πΌβˆƒπ‘˜ ∈ dom 𝐼((πΌβ€˜π‘—) = (πΌβ€˜π‘˜) ∧ 𝑗 β‰  π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  2c2 12267  β™―chash 14290  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs2 14792  iEdgciedg 28257  UMGraphcumgr 28341  Cyclesccycls 29042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-wlks 28856  df-trls 28949  df-pths 28973  df-cycls 29044
This theorem is referenced by:  umgracycusgr  34145
  Copyright terms: Public domain W3C validator