Theorem umgr2cycl 33003

Description: A multigraph with two distinct edges that connect the same vertices has a 2-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2cycl.1	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑓,𝑗,𝑘,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑗,𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-5 1914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼)
2		alral 3079	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ dom 𝐼 → ∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼)
4		r19.29 3183	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ dom 𝐼 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
5	3, 4	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
6		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ = ⟨“𝑗𝑘”⟩
7		umgr2cycl.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		simp1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ∈ dom 𝐼)
10		simp3r 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → 𝑗 ≠ 𝑘)
11		simp3l 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	umgr2cycllem 33002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝)
13		s2len 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
14	13	ax-gen 1799	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2
15		19.29r 1878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
16		s2cli 14521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V
17		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ ⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝))
18		fveqeq2 6765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((♯‘𝑓) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2))
19	17, 18	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ⟨“𝑗𝑘”⟩ → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) ↔ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)))
20	19	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩ ∈ Word V ∧ (⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2)) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
21	16, 20	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
22		rexex 3167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ Word V(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
24	23	eximi 1838	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝(⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
25		excomim 2165	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑝⟨“𝑗𝑘”⟩(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ ∀𝑝(♯‘⟨“𝑗𝑘”⟩) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	12, 14, 26	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
28	27	3expib 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	rexlimdvw 3218	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼(𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	5, 29	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝑗 ∈ dom 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
31	30	expd 415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑗 ∈ dom 𝐼 → (∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))))
32	31	rexlimdv 3211	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
33	32	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom 𝐼∃𝑘 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs2 14482  iEdgciedg 27270  UMGraphcumgr 27354  Cyclesccycls 28054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-pths 27985  df-cycls 28056

This theorem is referenced by:  umgracycusgr  33016