MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yonffth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem yonffth 18242
Description: The Yoneda Lemma. The Yoneda embedding, the curried Hom functor, is full and faithful, and hence is a representation of the category 𝐢 as a full subcategory of the category 𝑄 of presheaves on 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yonffth.y π‘Œ = (Yonβ€˜πΆ)
yonffth.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
yonffth.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
yonffth.q 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
yonffth.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
yonffth.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
yonffth.h (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
yonffth (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐢 Full 𝑄) ∩ (𝐢 Faith 𝑄)))

Proof of Theorem yonffth
Dummy variables 𝑓 π‘Ž 𝑔 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 yonffth.y . 2 π‘Œ = (Yonβ€˜πΆ)
2 eqid 2731 . 2 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2731 . 2 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
4 yonffth.o . 2 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
5 yonffth.s . 2 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2731 . 2 (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ)) = (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ))
7 yonffth.q . 2 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
8 eqid 2731 . 2 (HomFβ€˜π‘„) = (HomFβ€˜π‘„)
9 eqid 2731 . 2 ((𝑄 Γ—c 𝑂) FuncCat (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ))) = ((𝑄 Γ—c 𝑂) FuncCat (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ)))
10 eqid 2731 . 2 (𝑂 evalF 𝑆) = (𝑂 evalF 𝑆)
11 eqid 2731 . 2 ((HomFβ€˜π‘„) ∘func ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂))) = ((HomFβ€˜π‘„) ∘func ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂)))
12 yonffth.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
13 fvex 6904 . . . 4 (Homf β€˜π‘„) ∈ V
1413rnex 7906 . . 3 ran (Homf β€˜π‘„) ∈ V
15 yonffth.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
16 unexg 7739 . . 3 ((ran (Homf β€˜π‘„) ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ) ∈ V)
1714, 15, 16sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ) ∈ V)
18 yonffth.h . 2 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
19 ssidd 4005 . 2 (πœ‘ β†’ (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ))
20 eqid 2731 . 2 (𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑆), π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (π‘Ž ∈ (((1st β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)(𝑂 Nat 𝑆)𝑓) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))) = (𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑆), π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (π‘Ž ∈ (((1st β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)(𝑂 Nat 𝑆)𝑓) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
21 eqid 2731 . 2 (Invβ€˜((𝑄 Γ—c 𝑂) FuncCat (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ)))) = (Invβ€˜((𝑄 Γ—c 𝑂) FuncCat (SetCatβ€˜(ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ))))
22 eqid 2731 . 2 (𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑆), π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (𝑒 ∈ ((1st β€˜π‘“)β€˜π‘₯) ↦ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↦ (((π‘₯(2nd β€˜π‘“)𝑦)β€˜π‘”)β€˜π‘’))))) = (𝑓 ∈ (𝑂 Func 𝑆), π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (𝑒 ∈ ((1st β€˜π‘“)β€˜π‘₯) ↦ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↦ (((π‘₯(2nd β€˜π‘“)𝑦)β€˜π‘”)β€˜π‘’)))))
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 22yonffthlem 18240 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐢 Full 𝑄) ∩ (𝐢 Faith 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  tpos ctpos 8213  Basecbs 17149  Hom chom 17213  Catccat 17613  Idccid 17614  Homf chomf 17615  oppCatcoppc 17660  Invcinv 17697   Func cfunc 17809   ∘func ccofu 17811   Full cful 17858   Faith cfth 17859   Nat cnat 17897   FuncCat cfuc 17898  SetCatcsetc 18030   Γ—c cxpc 18125   1stF c1stf 18126   2ndF c2ndf 18127   ⟨,⟩F cprf 18128   evalF cevlf 18167  HomFchof 18206  Yoncyon 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-hom 17226  df-cco 17227  df-cat 17617  df-cid 17618  df-homf 17619  df-comf 17620  df-oppc 17661  df-sect 17699  df-inv 17700  df-iso 17701  df-ssc 17762  df-resc 17763  df-subc 17764  df-func 17813  df-cofu 17815  df-full 17860  df-fth 17861  df-nat 17899  df-fuc 17900  df-setc 18031  df-xpc 18129  df-1stf 18130  df-2ndf 18131  df-prf 18132  df-evlf 18171  df-curf 18172  df-hof 18208  df-yon 18209
This theorem is referenced by:  yoniso  18243
  Copyright terms: Public domain W3C validator