Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsplit 31426
 Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1 𝑘𝜑
esumsplit.2 𝑘𝐴
esumsplit.3 𝑘𝐵
esumsplit.4 (𝜑𝐴 ∈ V)
esumsplit.5 (𝜑𝐵 ∈ V)
esumsplit.6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
esumsplit.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsplit (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumsplit.2 . . 3 𝑘𝐴
3 esumsplit.3 . . 3 𝑘𝐵
42, 3nfun 4095 . 2 𝑘(𝐴𝐵)
5 esumsplit.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 esumsplit.5 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 unexg 7456 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 4079 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 esumsplit.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1210, 11jaodan 955 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
139, 12sylan2b 596 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 xrge0base 30723 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
15 xrge0plusg 30725 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
16 xrge0cmn 20137 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18 xrge0tmd 31302 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20 nfcv 2958 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
21 eqid 2801 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 30423 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
231, 2, 5, 10esumel 31420 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
24 ssun1 4102 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
254, 2resmptf 5878 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2726oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
2823, 27eleqtrrd 2896 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
291, 3, 6, 11esumel 31420 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
30 ssun2 4103 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
314, 3resmptf 5878 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3332oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
3429, 33eleqtrrd 2896 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35 esumsplit.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
36 eqidd 2802 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵))
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 22761 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)))
381, 4, 8, 13, 37esumid 31417 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939  Vcvv 3444   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113   ↾ cres 5525  (class class class)co 7139  0cc0 10530  +∞cpnf 10665   +𝑒 cxad 12497  [,]cicc 12733   ↾s cress 16480  ℝ*𝑠cxrs 16769  CMndccmn 18902  TopMndctmd 22679   tsums ctsu 22735  Σ*cesum 31400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-ordt 16770  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-ps 17806  df-tsr 17807  df-plusf 17847  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-subrg 19530  df-abv 19585  df-lmod 19633  df-scaf 19634  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-tmd 22681  df-tgp 22682  df-tsms 22736  df-trg 22769  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-nm 23193  df-ngp 23194  df-nrg 23196  df-nlm 23197  df-ii 23486  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-esum 31401 This theorem is referenced by:  esummono  31427  esumpad  31428  esumpr  31439  esumrnmpt2  31441  esumfzf  31442  esumpmono  31452  hasheuni  31458  esum2dlem  31465  measvuni  31587  ddemeas  31609  carsgclctunlem1  31689
 Copyright terms: Public domain W3C validator