Theorem esumsplit 34685

Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsplit.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumsplit.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumsplit.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
esumsplit.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
esumsplit.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
esumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsplit	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumsplit.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumsplit.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumsplit.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	2, 3	nfun 4117	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∪ 𝐵)
5		esumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		esumsplit.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		unexg 7760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4100	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11		esumsplit.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	10, 11	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	9, 12	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		xrge0base 17779	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
15		xrge0plusg 21745	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
16		xrge0cmn 21750	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18		xrge0tmd 34577	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
22	1, 4, 20, 13, 21	fmptdf2 33250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
23	1, 2, 5, 10	esumel 34679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
24		ssun1 4124	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
25	4, 2	resmptf 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
26	24, 25	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
27	26	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
28	23, 27	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
29	1, 3, 6, 11	esumel 34679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
30		ssun2 4125	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
31	4, 3	resmptf 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
33	32	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	29, 33	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35		esumsplit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
37	14, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36	tsmssplit 24471	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)))
38	1, 4, 8, 13, 37	esumid 34676	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   +_𝑒 cxad 13239  [,]cicc 13479   ↾_s cress 17408  ℝ^*_𝑠cxrs 17672  CMndccmn 19994  TopMndctmd 24389   tsums ctsu 24445  Σ^*cesum 34659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-ordt 17673  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-abv 21066  df-lmod 21137  df-scaf 21138  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tmd 24391  df-tgp 24392  df-tsms 24446  df-trg 24479  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-ii 25198  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-esum 34660

This theorem is used by:  esummono  34686  esumpad  34687  esumpr  34698  esumrnmpt2  34700  esumfzf  34701  esumpmono  34711  hasheuni  34717  esum2dlem  34724  measvuni  34847  ddemeas  34869  carsgclctunlem1  34949