Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsplit 34034
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1 𝑘𝜑
esumsplit.2 𝑘𝐴
esumsplit.3 𝑘𝐵
esumsplit.4 (𝜑𝐴 ∈ V)
esumsplit.5 (𝜑𝐵 ∈ V)
esumsplit.6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
esumsplit.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsplit (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumsplit.2 . . 3 𝑘𝐴
3 esumsplit.3 . . 3 𝑘𝐵
42, 3nfun 4180 . 2 𝑘(𝐴𝐵)
5 esumsplit.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 esumsplit.5 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 unexg 7762 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 4163 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 esumsplit.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1210, 11jaodan 959 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
139, 12sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 xrge0base 32999 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
15 xrge0plusg 33001 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
16 xrge0cmn 21444 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18 xrge0tmd 33906 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20 nfcv 2903 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
21 eqid 2735 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 32673 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
231, 2, 5, 10esumel 34028 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
24 ssun1 4188 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
254, 2resmptf 6059 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2726oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
2823, 27eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
291, 3, 6, 11esumel 34028 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
30 ssun2 4189 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
314, 3resmptf 6059 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3332oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
3429, 33eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35 esumsplit.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
36 eqidd 2736 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵))
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 24176 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)))
381, 4, 8, 13, 37esumid 34025 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  cmpt 5231  cres 5691  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290   +𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  s cress 17274  *𝑠cxrs 17547  CMndccmn 19813  TopMndctmd 24094   tsums ctsu 24150  Σ*cesum 34008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-tsms 24151  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-ii 24917  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-esum 34009
This theorem is referenced by:  esummono  34035  esumpad  34036  esumpr  34047  esumrnmpt2  34049  esumfzf  34050  esumpmono  34060  hasheuni  34066  esum2dlem  34073  measvuni  34195  ddemeas  34217  carsgclctunlem1  34299
  Copyright terms: Public domain W3C validator