Theorem esumsplit 34216

Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsplit.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumsplit.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumsplit.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
esumsplit.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
esumsplit.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
esumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsplit	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumsplit.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumsplit.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumsplit.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	2, 3	nfun 4111	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∪ 𝐵)
5		esumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		esumsplit.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		unexg 7691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4094	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11		esumsplit.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	10, 11	jaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	9, 12	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		xrge0base 17565	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
15		xrge0plusg 21432	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
16		xrge0cmn 21437	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18		xrge0tmd 34108	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
22	1, 4, 20, 13, 21	fmptdF 32747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
23	1, 2, 5, 10	esumel 34210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
24		ssun1 4119	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
25	4, 2	resmptf 5999	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
27	26	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
28	23, 27	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
29	1, 3, 6, 11	esumel 34210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
30		ssun2 4120	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
31	4, 3	resmptf 5999	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
32	30, 31	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
33	32	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	29, 33	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35		esumsplit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
37	14, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36	tsmssplit 24130	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)))
38	1, 4, 8, 13, 37	esumid 34207	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5627  (class class class)co 7361  0cc0 11032  +∞cpnf 11170   +_𝑒 cxad 13055  [,]cicc 13295   ↾_s cress 17194  ℝ^*_𝑠cxrs 17458  CMndccmn 19749  TopMndctmd 24048   tsums ctsu 24104  Σ^*cesum 34190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-ordt 17459  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-ps 18526  df-tsr 18527  df-plusf 18601  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-abv 20780  df-lmod 20851  df-scaf 20852  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-tmd 24050  df-tgp 24051  df-tsms 24105  df-trg 24138  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-nm 24560  df-ngp 24561  df-nrg 24563  df-nlm 24564  df-ii 24857  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-esum 34191

This theorem is referenced by:  esummono  34217  esumpad  34218  esumpr  34229  esumrnmpt2  34231  esumfzf  34232  esumpmono  34242  hasheuni  34248  esum2dlem  34255  measvuni  34377  ddemeas  34399  carsgclctunlem1  34480