Theorem esumsplit 34796

Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumsplit.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumsplit.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumsplit.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
esumsplit.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
esumsplit.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
esumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumsplit	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumsplit.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumsplit.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumsplit.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
4	2, 3	nfun 4172	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∪ 𝐵)
5		esumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		esumsplit.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		unexg 7792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4155	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11		esumsplit.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	10, 11	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	9, 12	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		xrge0base 17829	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
15		xrge0plusg 21799	. . 3 ⊢ +e = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
16		xrge0cmn 21804	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18		xrge0tmd 34688	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
22	1, 4, 20, 13, 21	fmptdf2 33348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
23	1, 2, 5, 10	esumel 34790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
24		ssun1 4179	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
25	4, 2	resmptf 6049	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
26	24, 25	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
27	26	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
28	23, 27	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
29	1, 3, 6, 11	esumel 34790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
30		ssun2 4180	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
31	4, 3	resmptf 6049	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
33	32	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	29, 33	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35		esumsplit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
36		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
37	14, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36	tsmssplit 24526	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)))
38	1, 4, 8, 13, 37	esumid 34787	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +e Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5660  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379   +_e cxad 13279  [,]cicc 13519   ↾_s cress 17452  ℝ^*_𝑠cxrs 17722  CMndccmn 20045  TopMndctmd 24444   tsums ctsu 24500  Σ^*cesum 34770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-plusf 18865  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-abv 21117  df-lmod 21188  df-scaf 21189  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-tmd 24446  df-tgp 24447  df-tsms 24501  df-trg 24534  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nrg 24959  df-nlm 24960  df-ii 25253  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-esum 34771

This theorem is used by:  esummono  34797  esumpad  34798  esumpr  34809  esumrnmpt2  34811  esumfzf  34812  esumpmono  34822  hasheuni  34828  esum2dlem  34835  measvuni  34958  ddemeas  34980  carsgclctunlem1  35060