Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsplit 32882
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1 𝑘𝜑
esumsplit.2 𝑘𝐴
esumsplit.3 𝑘𝐵
esumsplit.4 (𝜑𝐴 ∈ V)
esumsplit.5 (𝜑𝐵 ∈ V)
esumsplit.6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
esumsplit.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsplit (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumsplit.2 . . 3 𝑘𝐴
3 esumsplit.3 . . 3 𝑘𝐵
42, 3nfun 4161 . 2 𝑘(𝐴𝐵)
5 esumsplit.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 esumsplit.5 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 unexg 7719 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 4144 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 esumsplit.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1210, 11jaodan 956 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
139, 12sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 xrge0base 32057 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
15 xrge0plusg 32059 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
16 xrge0cmn 20921 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18 xrge0tmd 32756 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20 nfcv 2902 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
21 eqid 2731 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 31750 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
231, 2, 5, 10esumel 32876 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
24 ssun1 4168 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
254, 2resmptf 6029 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2726oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
2823, 27eleqtrrd 2835 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
291, 3, 6, 11esumel 32876 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
30 ssun2 4169 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
314, 3resmptf 6029 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3332oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
3429, 33eleqtrrd 2835 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35 esumsplit.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
36 eqidd 2732 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵))
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 23585 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)))
381, 4, 8, 13, 37esumid 32873 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2882  Vcvv 3473  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  cmpt 5224  cres 5671  (class class class)co 7393  0cc0 11092  +∞cpnf 11227   +𝑒 cxad 13072  [,]cicc 13309  s cress 17155  *𝑠cxrs 17428  CMndccmn 19612  TopMndctmd 23503   tsums ctsu 23559  Σ*cesum 32856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-ordt 17429  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-lmod 20422  df-scaf 20423  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-tmd 23505  df-tgp 23506  df-tsms 23560  df-trg 23593  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-nrg 24023  df-nlm 24024  df-ii 24322  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-esum 32857
This theorem is referenced by:  esummono  32883  esumpad  32884  esumpr  32895  esumrnmpt2  32897  esumfzf  32898  esumpmono  32908  hasheuni  32914  esum2dlem  32921  measvuni  33043  ddemeas  33065  carsgclctunlem1  33147
  Copyright terms: Public domain W3C validator